Дзета-функция Римана, ее знакопеременная версия и их q-аналоги
9
Здесь полиномы Бернулли
B
n
(
x
) определяются разложением произво-
дящей функции:
0
( ) .
!
1
xt
n
n
t
n
te
t
B x
n
e
Вполне возможно, что
q
-аналог дзета-функции Римана нельзя за-
писать в виде бесконечного произведения или в виде функциональ-
ного уравнения [9], хотя доказательство этого требует дополнитель-
ного рассмотрения. Известно, что у обычной дзета-функции имеются
тождества и они выводятся, как правило, через формулу Эйлера бес-
конечного произведения. Неизвестно, есть ли похожие тождества для
квантового аналога, но если даже они существуют, то для их доказа-
тельства потребуются другие подходы.
Заключение.
Таким образом, вычислены значения знакопере-
менной версии дзета-функции ζ(
s
) в целых отрицательных точках,
которые являются рациональными функциями. Используя получен-
ные результаты, можно, например, найти спектр масс в классической
теории поля с кинетическим членом в виде
q
-аналога знакоперемен-
ной версии дзета-функции, в котором вместо
q
стоит оператор
д’Аламбера.
ЛИТЕРАТУРА
[1]
Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н.
Курс современного анализа
. Т. 2. Москва,
Физматгиз, 1963, 516 с.
[2]
Титчмарш Э.Ч.
Дзета-функция Римана
. Москва, Едиториал УРСС, 2010,
152 с.
[3]
Манин Ю.И., Панчишкин Л.Ю.
Введение в современную теорию чисел
.
Москва, МНЦМО, 2009, 552 с.
[4]
Харт Н.
Геометрическое квантование в действие
. Москва, Мир, 1985, 343 с.
[5]
Ray D., Singer I. M. R-torsion and the laplacian on Riemannian manifolds.
Adv.
in Math
., 1971, vol. 7, pр. 145–210.
[6]
Bost J.-B. Fibres determinants, determinants regularises et measures sur les espac-
es de modules des courbes complexes, Sem. Bourbaki, 39 eme annee1986-1987,
n 676, Asterisque 152, 153, 1987, pр. 113–149 (пер.
Математический анализ и
геометрия
: сб. статей, 1983–1987 гг., Москва, Мир, 1990, 248 с.).
[7]
Кац В.Г., Чен П.
Квантовый анализ
. Москва, МНЦМО, 2005, 128 с.
[8]
Kaneko M., Kurokawa N., Wakayama M. A variation of Euler’s approach to
values of the Riemann zeta-function.
Kyushu Journal of Math
., 2003, vol. 57,
pр. 175–192.
[9]
Kawagoe K., Wakayama M.,Yamasaki Y. The q-Analogues of the Riemann zeta,
Dirichlet L-functions, and a crystal zeta-function.
Forum Math
, 2008, vol. 1,
рp. 1–26.
Статья поступила в редакцию 05.06.2013
