Дзета-функция Римана, ее знакопеременная версия и их q-аналоги
7
Ряды
f
q
(
s
,
t
) имеют полюса первого порядка в точках
t
Z
≤ 0 +
+ 2π
iZ/
log
q
. Следует отметить, что дзета-функция Римана имеет
только одну особенность, а именно: полюс первого порядка в точке
s
= 1.Тогда выберем
t = s
– 1 и получим правильный классический
предел:
( 1)
1 2( 1)
3( 1)
4( 1)
1
( )
( ,
1)
...
[ ]
[1]
[2]
[3]
[4]
n s
s
s
s
s
q
q
s
s
s
s
s
n
q
q q
q
q
s f s s
n
Представим также знакопеременную квантовую дзета-функцию
в виде
( 1)
1 2( 1)
3( 1)
4( 1)
1
1
( )
( 1)
...
[ ]
[1]
[2]
[3]
[4]
n s
s
s
s
s
n
q
s
s
s
s
s
n
q
q q
q
q
s
n
Тогда формуле (1) будет соответствовать выражение
2
1
( )
( ) 2
( ).
(1 )
q
q
s q
s
s
s
q
В частности, отсюда следует, что ζ
q
(
s
) и ζ
q
(
s
) будут совпадать при
q =
–1 и
s
< 0. Можно записать следующие функциональные ряды:
1
1
1
1
( 1)
( ) (1 )
... ;
2
1
1
1
s
s
s
s
q
s
s
s
q
q s s
q
s
q
s
q
q
q
1
1
1
1
( 1)
( ) (1 )
... .
2
1
1
1
s
s
s
s
q
s
s
s
q
q s s
q
s
q
s
q
q
q
Для натуральных
m
предельное значение
( )
lim
q
s m
s
существует и
представлено в виде
1
1
0
1
( 1)
( ) (1 )
( 1)
.
( 1) log
1
m
m
m
r m
q
r m r
r
m q
C
m q
q
Для ( )
q
s
получим
1
0
1
( ) (1 )
( 1)
.
1
m
m
r m
q
r m r
r
m q
C
q
(4)
Рассмотрим следующие примеры [8]:
