Дзета-функция Римана, ее знакопеременная версия и их q-аналоги
3
в частности, можно записать
1
1
(0)
;
( 1)
;
2
12
1
( 2) 0;
( 3)
...
120
(2)
Утверждение, что ζ(1) = –1/12, иногда в литературе называют
странной формулой. В физике эта формула находит применение для
вычисления энергии притяжения двух пластин в эффекте Казимира, а
также для вычисления энергии основного состояния бозонной стру-
ны (она оказывается отрицательной, и, следовательно, вакуум в этом
случае нестабилен). Утверждают, что основное состояние бозонной
струны является тахионом. Отметим, что дзета-функция равна нулю
в отрицательных четных числах. Такие нули ζ(
s
) называются триви-
альными. Для знакопеременного случая запишем
1
1
(0)
;
( 1)
;
2
4
1
( 2) 0;
( 3)
,...
8
(3)
Для дзета-функции Римана имеются представления в виде инте-
грала. Одной из самых известных формул является следующая:
1
0
1
( )
.
( )
1
s
x
x
s
dx
s e
Эта формула в статистической физике появляется в описании кван-
тового бозонного газа. Знакопеременный случай имеет отношение к
фермионам:
1
0
1
( )
.
( )
1
s
x
x
s
dx
s e
Простейшим обобщением дзета-функции Римана является дзета-
функция Гурвица [1]:
0
1
( , )
.
(
)
s
n
s a
n a
Для этой функции нет аналога формулы Эйлера в виде произведения,
но имеются функциональное уравнение и интегральное представле-
ние.
