1
УДК 51.74
Аксиоматика Вейля — Рашевского
в курсах аналитической геометрии
и линейной алгебры
© В.В. Кузнецов, А.В. Мастихин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В данной статье рассматривается аксиоматика Вейля — Рашевского, адаптиро-
ванный вариант точечно-векторной аксиоматики аффинного пространства. Эта
аксиоматика лежит в основе аналитической геометрии и алгебры конечномерных
векторных пространств и дает возможность строгого вывода традиционно изуча-
емых свойств векторной алгебры. Приводится система аксиом, состоящая из четы-
рех частей. Кратко рассматривается набор доказываемых при их помощи утвер-
ждений, приводятся примеры доказательств. Понятия аффинных многообразий
(n-мерных плоскостей) приобретают геометрический смысл обобщений прямой и
плоскости. В этой связи рассматривается задача перехода от параметрического
уравнения к заданию многообразия системой, приводится пример. Также даются
определения геометрической зависимости точек, выпуклой оболочки, симплекса.
Ключевые слова:
аналитическая геометрия, линейная алгебра, точечно-векторная
аксиоматика, конечномерные плоскости, барицентрические координаты.
Введение.
Впервые Д. Гилберт [1] предложил непротиворечи-
вую, независимую и полную систему аксиом геометрии. Вариант
этой аксиоматики Г. Вейля, модифицированный П. К. Рашевским,
считается общепринятым ныне в учебниках для университетского
курса [2], [3]. В учебниках, написанных для технических вузов, в
лучшем случае несколько слов об аксиоматике встречаются в виде
дополнительного материала. Аксиоматический подход позволяет по-
строить геометрию строго дедуктивно, выяснить основные идеи, де-
лающие математику единой наукой. Применение такой методики бы-
ло начато в [4], [5] и [6] и оказалось весьма целесообразным.
В данной работе, не претендуя на полноту изложения, даются ос-
новы методики, ссылки и поэтапный план лекций по аналитической
геометрии и связанной с ней части линейной алгебры, который призван
дополнить и углубить стандартные курсы, не претендуя на их замену.
1. Аксиоматика.
В качестве первоначальных понятий здесь ис-
пользуются точка и вектор. Введем обозначения для основных мно-
жеств и их элементов:
1)
T
— множество точек, т. е. его элементы называются точками,
T
{ , , , };
A B C
2)
V
— множество векторов, т. е. его элементы называются век-
торами, V
{ , , , };
a b c
3) R — множество действительных чисел.
