В.В. Кузнецов, А.В. Мастихин
4
Определение.
Аффинное пространство
—
это множество то-
чек и векторов, элементы которого находятся в отношениях, опи-
сываемых операциями откладывания и сложения векторов, а также
умножения вектора на число
.
Отметим, что первыми примерами являются точка — это аффин-
ное пространство нулевой размерности (ср. с [6]) и все объемлющее
пространство. Далее дается определение базиса аффинного про-
странства, теорема о единственности разложения по данному базису,
определение координат вектора, определение аффинного базиса,
определение координат точки в аффинном базисе, доказывается тео-
рема о координатах отложенного вектора и теоремы о координатах
суммы векторов и вектора, умноженного на число.
Скалярное произведение задается аксиоматически.
Аксиома 4.1.
Для любых двух векторов
,
a b
V
существует
единственное число
,
,
a b
называемое скалярным произведением.
Аксиома 4.2.
Скалярное произведение коммутативно
,
,
a b
=
,
b a
.
Аксиома 4.3.
Числовой множитель можно выносить за знак
скалярного произведения,
R
,
V ,
a b
,
,
.
a b
a b
Аксиома 4.4.
Скалярное произведение дистрибутивно относи-
тельно сложения векторов,
, ,
V ,
a b c
,
a b c
,
a c
+
,
b c
.
Аксиома 4.5.
Скалярный квадрат неотрицателен
,
0,
a a
причем
,
0
a a
тогда и только тогда, когда
0
a
.
При определении евклидова пространства обычно скалярное произ-
ведение задается в виде аксиом. Далее следуют метрические понятия,
такие как длина вектора, орт, расстояние между точками, угол между
векторами (и неравенство Коши — Буняковского), ортогональность
векторов, ортонормированная система векторов, декартова система ко-
ординат, проекция вектора на направление и их свойства.
2. Прямая и плоскость.
Рассмотрим с позиций аффинного про-
странства понятия прямой и плоскости и их свойства, принимаемые в
школьном (и не только) курсе за аксиомы.
Определение.
Пусть заданы точка
A
T
и ненулевой вектор
a
V
,
по аксиоме откладывания
a AB
для
B
из
T
.
Прямой
( )
AB
называется множество всех точек
,
M
для которых векторы
,
AB AM
линейно зависимы
,
.
AB AM
