Аксиоматика Вейля — Рашевского в курсах аналитической геометрии
5
Определение.
Пусть заданы точка
A
T
и
линейно независимые
векторы
,
a b
V,
по аксиоме откладывания
a AB
,
a AC
для
,
B C
из
T
.
Плоскостью
(
)
ABC
называется множество всех точек
M
, для которых векторы
,
,
AB AC AM
линейно зависимы.
Как видим, в обоих определениях объект задается точкой и бази-
сом, из одного и из двух векторов соответственно, что и выражает
векторное уравнение
прямой
( )
AB
,
M M
T
:
R
AM a
и
векторное уравнение
плоскости
(
)
ABC
,
M M
T
:
,
R
.
AM a b
Далее следуют: теорема о трех точках, не лежащих на одной пря-
мой, теорема о точке и двух некомпланарных векторах, определяется
понятие компланарности векторов, доказывается признак компла-
нарности трех векторов, теорема о прямой, проходящей через две
точки плоскости.
Параллельность плоскостей в пространстве (и прямых в плоско-
сти) определим традиционно.
Определение.
Плоскости называются
параллельными
, если они
не пересекаются.
Признак параллельности плоскостей формулируется тогда сле-
дующим образом.
Теорема
(признак параллельности двух плоскостей).
Пусть даны
две плоскости,
и
,
заданные каждая одной точкой и парой век-
торов базиса, для
это
, ,
M a b ,
для
—
, ,
.
N c d
Плоскости
параллельны тогда и только тогда, когда векторы
, , ,
a b c d
ком-
планарны.
Докажем необходимость. Если векторы
, , ,
a b c d
некомпланарны,
то можно набрать из них базис в пространстве, пусть это
, , ,
a b c
тогда
вектор
MN
можно выразить через элементы этого базиса,
MN
.
xa yb zc
Обозначим буквой
D
точку, являющуюся концом
вектора
MD MN zc
,
xa yb
тогда точка
D
лежит в плоскости
,
поскольку
,
xa yb
и также лежит в плоскости
,
поскольку
,
ND NM MD NM MN zc
т. е.
,
D
что невозможно.
Достаточность доказывается тем же способом: предположив, что
плоскости пересекаются, приходим к возможности выразить вектор
через векторы системы, что влечет ее некомпланарность.
Аналогично формулируется и доказывается признак параллель-
ности двух прямых.
