Аксиоматика Вейля — Рашевского в курсах аналитической геометрии
7
Рассмотрим взаимное расположение многомерных плоскостей.
Здесь появляются задачи, решение которых дает возможность при-
менения теории систем линейных алгебраических уравнений.
Определение.
Плоскости называются параллельными, если они
не пересекаются.
Теорема.
Плоскости
1
k
k
M L
и
2
,
m
m
N L
,
k m n
па-
раллельны тогда и только тогда, когда
.
k
m
L L
Теорема.
Плоскость
1
k
k
M L
содержится в плоскости
2
,
m
m
N L
,
k m n
тогда и только тогда, когда
k
m
L L
и
2
.
m
M
Теорема.
Плоскости
1
k
k
M L
и
2
m
m
N L
совпадают то-
гда и только тогда, когда
k m n
,
k
m
L L
,
2
k
M
и
1
.
k
N
Задача.
Для двух плоскостей найти минимальную плоскость, со-
держащую обе плоскости.
Решение.
Если плоскости
1
k
k
M L
и
2
m
m
N L
имеют общую
точку, то она может быть взята за начальную, и задача сводится к вы-
числению линейной оболочки двух имеющихся линейных пространств
1
2
lin
k
m
L L
. Если же начальные точки различны, то возьмем любую из
них за начальную точку и
1
2
= + lin
.
k
m
M MN L L
Полученную
плоскость будем называть
аффинной оболочкой
плоскостей и тоже
обозначим
1
2
= lin
.
k
m
Кроме того, можно рассматривать аффин-
ные оболочки точек многообразия [8], возникает понятие геометриче-
ской зависимости точек, что будет рассмотрено в п. 4.
Теорема.
Размерность аффинной оболочки
1
2
lin
k
m
связана
с размерностями плоскостей
1
k
и
2
m
следующим образом
1
2
dim lin
k
m
1
dim
k
2
+dim 1
1
m
k m
.
Теорема.
Если плоскости
1
k
и
2
m
имеют общую точку, то
верна следующая формула
1
2
dim lin
k
m
1
= dim
k
2
+dim
m
1
2
dim
k
m
[9]
.
Задача.
Найти плоскость, проходящую через заданные точки
0 1
, , , .
k
P P P
Решение.
Достаточно записать параметрическое уравнение плос-
кости для переменной точки
P
:
0
1 0 1
2 0 1
0
,
k
k
P P P P P P
P P
причем размерность получаемой плоскости равна числу линейно не-
зависимых векторов системы
0 1 0 1
0
,
,
,
.
k
P P P P P P
