В.В. Кузнецов, А.В. Мастихин
6
Далее следует следствие о компланарности двух прямых, опреде-
ление скрещивающихся прямых, критерий скрещивания двух пря-
мых, теорема об общих точках двух плоскостей, пересекающихся
плоскостей, критерий параллельности прямой и плоскости (опреде-
ление параллельности прямой и плоскости вновь как не имеющих
общих точек), как следствие, — школьный признак параллельности
прямой и плоскости, теорема о пересечении двух параллельных
плоскостей третьей.
Во всех рассматриваемых утверждениях и их доказательствах
подчеркивается эффективность задания прямых и плоскостей точкой
и базисом, состоящим из одного или двух векторов соответственно,
т. е. идея, лежащая в определении аффинных многообразий. Для ре-
шения задач еще эффективнее задавать плоскость точкой и норма-
лью, которая может быть получена как векторное произведение
опять-таки векторов базиса в плоскости.
3. Аффинные многообразия или многомерные плоскости в
n
R .
Точечно-векторная аксиоматика естественным образом готовит
к восприятию многомерных обобщений интуитивно ясных понятий
прямой и плоскости. После определения линейного векторного про-
странства, его примеров и свойств дается следующее.
Определение.
Пусть
в аффинном пространстве задана точка
P
T
и множество векторов
k
L
V
,
составляющее линейное век-
торное пространство размерности
,
,
k k n
тогда k-
мерной плос-
костью
, или
аффинным многообразием размерности
k, называется
множество всех точек
M
, для которых вектор
.
k
PM L
Иными словами, вектор, отложенный от точки
P
, лежит в ли-
нейном пространстве
k
L
. Обозначение
k
k
P L
кратко повторяет
определение; если в
k
L
зафиксирован базис
1 2
, ,
,
k
e e
e
, то
k
k
P L
,
M M
T
:
1
,
,
k
R
,
1
k k
PM e
e
.
Пространство
k
L
[2] часто называют
касательным простран-
ством
[7] к многообразию
.
k
Размерностью многообразия
(плоскости) естественно назвать
размерность соответствующего ему линейного пространства,
dim dim .
k
k
L
Первыми примерами являются точка — это аффинная плоскость
нулевой размерности (ср. с [6]) и все объемлющее пространство. Ос-
новным примером является, конечно, множество всех решений (об-
щее решение) линейной неоднородной системы уравнений, как ал-
гебраических, так и дифференциальных.
