Предельные теоремы для числа плотных серий с заданными параметрами. . .
Оценим сумму
1
. В условиях теоремы 1
P
{
,
,
}
=
P
{
,
0
,
0
}
=
(︂
1
−
1
)︂
4
,
<
,
,
поэтому из (4) имеем
1
=
∑︁
(
,
)
∈
∑︁
(
′
,
′
)
∈
,
P
{
,
,
}
P
{
,
′
,
′
}
<
<
∑︁
(
,
)
∈
|
,
|
2
,
(︂
1
−
1
)︂
4
6
(︂
1
−
1
)︂
4
(2 + 7) ( + )
2
,
=
=
l
,
(2 + 7) ( + )
,
.
(7)
Теперь оценим сумму
2
с использованием следующей леммы.
Лемма 1.
Если
(
′
,
′
)
∈
,
∖ {
(
,
)
}
, то
P
{
,
,
,
′
,
′
}
6
2
,
(︂
1
−
1
)︂
4
=
(︃
−
−
1
1
(︂
1
−
1
)︂
−
+2
)︃
2
.
(8)
С помощью формулы (8) оценим правую часть выражения (6):
2
=
∑︁
(
,
)
∈
∑︁
(
′
,
′
)
∈
˙
,
P
{
,
,
,
′
,
′
}
<
∑︁
(
,
)
∈
|
,
|
2
,
(︂
1
−
1
)︂
4
6
6
(︂
1
−
1
)︂
4
(2 + 7) ( + )
2
,
=
l
,
(2 + 7) ( + )
,
.
(9)
Подставляя (7) и (9) в формулу (5), получаем
r
(
z
,
,
p
,
)
6
2
1
−
−
l
,
l
,
l
,
(2 + 7) ( + )
,
<
<
2 (2 + 7) ( + )
,
.
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2.
Доказательство теоремы 2 проведем
аналогично доказательству теоремы 1. Так как при весе максимальная
длина серии
= 2
−
1
, окрестности определяются формулами
¯
,
= ¯
∪
¯
,
¯ =
{
(
′
,
′
)
∈
:
|
′
− |
6
2 + 2
}
,
¯ =
{
(
′
,
′
)
∈
:
|
′
− |
6
2 + 2
}
.
Из формулы (4) получаем
|
¯
,
|
6
|
¯
|
+
|
¯
|
=
(︀
2(2 + 2) + 1
)︀
( + ) = (4 + 5) ( + )
.
5
