1
УДК 533.6.013.42
Задача взаимодействия упругой сферической
оболочки с жидкостью
© В.Г. Богомолов
1
, А.А. Федотов
1
1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва 105005, Россия.
Рассмотрена модель сферической оболочки в рамках оболочечных
уравнений типа Тимошенко. Решена задача о взаимодействии тонкой
сферической оболочки с окружающей ее акустической жидкостью с
учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Предло-
жен метод получения аналитического решения задачи о взаимодей-
ствии тонкой сферической оболочки с окружающей ее акустической
жидкостью, основанный на применении преобразования Лапласа.
Ключевые слова:
сферическая оболочка, акустическая жидкость, па-
дающая волна.
Введение.
Изучению
взаимодействия упругой конструкции с жид-
костью посвящен ряд работ [1–8]. Некоторые типы оболочек и оболо-
чечных конструкций (в рамках гипотез Кирхгофа — Лява) исследованы
в работах [1, 9, 10].
В моделях, описывающих упругое тело, заключенное между двумя
криволинейными поверхностями, расстояние между которыми посто-
янно и мало по сравнению с другими характерными размерами, при
описании движения частиц тела можно перейти от уравнений теории
упругости к уравнениям теории тонких оболочек. Теория оболочек ти-
па Тимошенко учитывает инерцию вращения и деформацию попереч-
ного сдвига. В таких оболочках возмущение распространяется с конеч-
ной скоростью.
В настоящей работе в рамках указанной модели получено анали-
тическое решение в изображениях задачи о взаимодействии тонкой
сферической оболочки, описываемой уравнениями типа Тимошенко, с
окружающей ее акустической жидкостью. Исследован частный пре-
дельный случай для безразмерной оболочки. Установлено, что в пре-
дельном случае полученные результаты совпадают с предельными
результатами, выведенными на основе оболочечных уравнений
Кирхгофа — Лява.
Постановка и решение задачи.
Пусть
t
— время,
Оx'y'z'
— по-
движная декартова система координат, начало
О
которой в любой
момент времени совпадает с центром масс сферической оболочки и,
следовательно, в начальный момент движения (до начала воздей-
ствия волны и нагрузки) — с центром сферы радиусом
a.
Обозначим
w'
,
v'
— соответственно радиальное и тангенциальное смещения сре-
