3 / 10
Динамическое демпфирование вынужденных колебаний гироскопической системы…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 10·2017 3
где
A
— момент инерции гиростабилизатора относительно оси
z
с демпфером без жидкости;
— угол поворота гиростабилизатора
вокруг оси
;
z
K
— коэффициент обратной связи по каналу стабили-
зации;
ж
M v
— момент сил, действующих на гиростабилизатор со
стороны жидкости;
M
— возмущающий момент.
Для того чтобы вычислить
ж
,
M v
необходимо найти поле
скорости жидкости ,
v
которая удовлетворяет уравнению Навье —
Стокса [1]:
2
2
2
2
2
1
1
.
v
v
v
v
v
r r
t
r
z r
(2)
Течение жидкости удовлетворяет граничным условиям: на по-
верхности тора
.
v
t r
В начальный момент жидкость находится
в покое, т. е.
0
v
при
0.
t
Подробное решение уравнения (2) приведено в работе [1], где по-
казано, что скорость жидкости
2
2
0
1
1
0
1 2
,
k
t
t
k
a
k
k
k
J
v R
e
d
J
(3)
где
R
— радиус тора;
a
— радиус трубки, образующей тор;
— ки-
нематическая вязкость жидкости;
— новая безразмерная полярная
координата, введенная при решении уравнения Навье — Стокса [1];
0
,
J
1
J
— функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка
соответственно;
k
— нули функции
0
.
J
В рассматриваемом приближении сила вязкости, действующая со
стороны жидкости на единицу площади стенки тора
2
2
*
*
1
0
1
2
,
k
t
t
a
k
v
R
e
d
a
a
(4)
где
*
ρ
— плотность жидкости.
Момент сил, действующих на гиростабилизатор со стороны жид-
кости, имеет вид
2
2
2 2
2 3
ж
*
*
1
0
1
4
8
.
k
t
t
a
k
v
M v
R a
R
e
d
a
(5)