6 / 12
И.А. Пономарева
6
Инженерный журнал: наука и инновации
# 7·2017
ние системы линейных уравнений
Z Z
Z
k k
k
B p g
). Следующим этапом
является решение задачи одномерной минимизации, в процессе кото-
рого определяют оптимальное значение
k
размера шага в выбран-
ном направлении
.
k
p
При этом процедура проектирования гаранти-
рует, что шаг выполняется в разрешенном направлении (например,
если на текущей итерации
V
=
min
V
, то проектирование исключа-
ет из рассмотрения направления дальнейшего уменьшения компо-
ненты
V
). В рамках представленного алгоритма градиент рассчи-
тывают путем конечно-разностной аппроксимации, при этом на пер-
вой итерации автоматически определяется значение конечно-
разностного интервала с целью минимизации суммарной вычисли-
тельной погрешности. Одномерную минимизацию выполняют на ос-
нове процедуры золотого сечения.
Проверка критериев останова заключается в сравнении измене-
ния
1
k
k
F
F
M M
на текущем шаге с заданным малым числом,
сравнении выполненного шага
k k
p
с заданным малым числом, а
также проверке грубого условия оптимальности — малости нормы
градиента
1
Z
k
g
. В завершение каждой итерации проводится обнов-
ление матрицы
1
Z
T
k
B R WR
, (4)
где
R
— невырожденная верхняя треугольная матрица общего вида —
результат разложения по Холесскому
Z T
k
B R R
; матрицу
W
опре-
деляют по формуле пересчета BFGS (Бройдена — Флетчера —
Гольдфарба —Шанно):
1
1
,
T
T
Z Z
Z Z
T
T
Z Z
Z Z
W I
s s
y y
s s
y s
(5)
1
Z
k
k
s R M M
определяется
изменением
аргумента,
1
1
T
Z
k
k
y R g g
— изменением градиента. Пересчет BFGS
обеспечивает симметричность вычисленной матрицы
1
Z
k
B
и сохра-
няет ее положительную определенность при условии положительной
определенности матрицы
.
Z
k
B
Качественное исследование результатов, полученных при выпол-
нении реализованного вычислительного алгоритма позволило вы-
явить ряд его характерных особенностей [6]. В качестве первой из
них можно отметить, что итерационный процесс сходится к различ-
ным решениям при выборе различных начальных приближений.
Данной особенностью обладает большинство численных методов