4 / 10
Е.А. Сухов, Б.С. Бардин
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 5·2016
численного интегрирования системы дифференциальных уравнений,
описывающей изменение величин
u
n
,
u
m
,
v
n
,
v
m
, определяются
значения нормальных, тангенциального и энергетического смещений, а
также поправка к периоду τ, дающие при переходе к исходным
координатам начальные условия нового решения, период которого
*
T T
= + τ
. Найденное решение
( , )
z z t p
=
будет периодическим лишь
приближенно. Уточнение начальных условий и периода нового решения
выполняются на этапе корректора. На данном этапе в результате
численного интегрирования системы дифференциальных уравнений для
величин
u
n
,
,
u
m
v
n
,
v
m
становятся известны уточненные начальные
условия и период решения
( , )
z z t p
=
. При удачном выборе
уточняемого решения каждое применение корректора позволяет найти
поправки к начальным условиям и периоду, имеющие следующий
порядок малости по сравнению с поправками предыдущего шага.
Подробное описание этапов предиктора и корректора приведено в [4].
Для численного построения семейства периодических решений по
данному методу необходимо знать опорное решение, не являющееся
положением равновесия. Критерием остановки работы алгоритма
служит нахождение так называемого
критического
решения, из
которого семейство не может быть продолжено данным методом
вследствие нарушения достаточных условий теоремы Пуанкаре о
существовании периодического решения. Такая ситуация называется
«
смертью
», или
естественным завершением
семейства [5, 6].
Методика и алгоритм выбора приращений параметров и
константы энергии.
При разработке программной реализации при-
веденного метода возникла необходимость повысить скорость рабо-
ты алгоритма. Для увеличения быстродействия выбор приращений
параметров и константы энергии проводится в зависимости от пара-
метров опорного решения и заданной погрешности
.
ε
Погрешность работы алгоритма определяется формулой
( , , )
( ) (0)
∆ = ∆
π = −
z z h p
z T z
,
(3)
где
т
( , )
p h
π = ∆ ∆
— приращения параметров и константы энергии.
Разложив
∆
z
в ряд Тейлора и отбросив члены выше первого порядка
малости, получим
0
( , , )
,
π
∆
π = ∆ ( ∆ ∆ ( ∑ ∆ ∆ ( ∑ ∆ ∆π
i
j
h
i
p i
j
j
z h p
z
z h
z p
z
где
( )
( )
( )
;
;
.
π
∂ ∆
∂ ∆
∂ ∆
∆ =
∆ =
∆ =
∂
∂
∂π
i
i
h
p
i
i
z
z
z
z
z
z
h
p
При
const
π =
данное разложение принимает вид
0
)
.
( ,
∆ = ∆ ( ∆ ∆ ( ∑ ∆ ∆
i
h
i
p i
z h p z
z h
z p
(4)