2 / 9
А.А. Гурченков, И.М. Герман, А.М. Романенков
2
(0)
(0) 0;
(1)
(1) 0.
W V
W V
(2')
В качестве минимизируемого функционала выберем вес балки
(плотность балки полагаем равной единице), который определяется
соотношением:
1
0
( ) :
( ) .
J h x
h x dx
(3)
Таким образом, возникает экстремальная задача: найти функцию
h x
, доставляющую минимум функционалу (3), при которой задача
(2)–(2') имеет нетривиальное решение.
Описание метода решения.
При решении подобных задач с
применением известных алгоритмов оптимизации требуется на каж-
дом шаге алгоритма определять
( )
W x
и ω. C этой целью в данной ра-
боте использован метод последовательных приближений [6–10]. Он
заключается в последовательных итерациях, при выполнении кото-
рых определяются значения
(0)
(1)
( )
( 1)
,
, ,
,
s
s
W W W W
и
(0) (1)
ω ,ω , ,
( ) ( 1)
ω ,ω .
s
s
Для решения системы уравнений вида (2) используется
метод матричной прогонки.
Для последующего применения метода проектирования градиен-
та выразим вариацию собственной частоты через вариацию управля-
ющей функции (в данном случае
( )).
h x
Придадим функции
( )
h x
ма-
лое приращение
δ ( )
h x
, т. е.
( ) ( ) δ ( )
h x h x h x
.
Естественно, функции
( ), ( )
W x V x
, а также собственное значе-
ние
ω
также получает малое приращение
δ ( ), δ ( ), δω
W x V x
соответ-
ственно. Ограничиваясь членами первого порядка малости, получим
уравнения в вариациях
1
( )
( )
( ) (
( );
( )
( )
)
xx
xx
xx
h W h x W h
V x
V
x
x
x
W
x
x
W
(4)
с граничными условиями
(0)
(1)
(0)
(1) 0.
W W V V
(4')
Умножим первое уравнение системы (4) на некоторую функцию
1
( )
q x
, а второе — на
2
( )
q x
, сложим их и проинтегрируем от 0 до 1.
После интегрирования по частям, учитывая граничные условия
(4’), а также подчиняя функции
1
( )
q x
и
2
( )
q x
граничным условиям
1
1
2
2
(0)
(1)
(0
0,
)
(1)
q q q
q
(5)
получаем
1
1
1
1
0
α
δ ( )
( )
( ) (
( )
δ )
)
(
xx
xx
x
x
h W h x q
h
W
x xq
x