1
УДК 519.714, 517.977
Оптимальное проектирование балки с ограничениями
на частоту собственных колебаний
© А.А. Гурченков
1,2
, И.М. Герман
2
, А.М. Романенков
2
1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
2
МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского, Москва, 109387, Россия
Задача, рассматриваемая в данной работе, является актуальной в области опти-
мизации форм упругих тел. Предложенный авторами способ решения удобен для
применения на практике. Исследованы различные условия закрепления концов бал-
ки. При численном решении экстремальной задачи использовались метод последо-
вательных приближений и метод проектирования градиента. Задача решена с
учетом ограничений, наложенных на параметры балки, естественно возникающие
при решении подобного рода задач. Для расчета оптимальной формы прогиба бал-
ки с помощью современных информационных технологий разработано удобное для
конечного пользователя программное решение, которое позволяет наглядно де-
монстрировать результаты вычислений
.
Ключевые слова:
оптимизация частоты колебаний, метод спуска.
Постановка задачи.
В ряде динамических задач оптимального
проектирования упругих конструкций часто возникает необходи-
мость облегчить вес проектируемой конструкции при заданной фун-
даментальной частоте собственных колебаний. Задача такого типа
рассматривается в данной работе. В качестве оптимизируемой кон-
струкции выбрана упругая балка с различными способами закрепле-
ния на обоих концах.
Известно, что поперечные колебания балки описываются обык-
новенным дифференциальным уравнением 4-го порядка с соответ-
ствующими граничными условиями, которые характеризуют способ
закрепления балки. Рассмотрим уравнение состояния упругой балки
в соответствии с [1–5]:
,
(
ω
)
xx xx
h W W
x
(1)
где
— первое собственное значение;
( )
h x
— толщина балки;
( )
W x
—
прогиб балки.
От уравнения (1) можно перейти к системе дифференциальных
уравнений
;
.
(
)
xx
xx
x h W V
V W
(2)
Граничные условия, которые соответствуют закреплению балки,