П.Г. Русанов
6
Здесь
C
V
— вектор скорости точки
С
— центра масс стержня;
z
k
—
угловая скорость вращения стержня относительно ползуна.
Выразив
только векторы скоростей через единичные орты
A x
V V i
,
B x
z
V V i l
,
0, 5
C A CA x
z
V V V V i
l
,
z
k
и отбросив нулевые мощности ряда сил, представим (7) в виде
,
(
) (
) ( 0,5 )
;
[ (
)
(
)
[
( )
( )]
A x
C x
C
z
Cz z z
e i
z
B
z
Az
Az B
T M a V i
m a V i
m a
l
J
W mg k AC F k AB M mg M F
(12)
С учетом (12) сгруппируем в уравнении
,
0
e i
T W
слагаемые и
представим его в виде линейной комбинации независимых проекций
скоростей ,
x z
V
0
x
z
PV Q
:
(
)
0;
(
)
( )
( ) 0.
A
C
Cz z
Az
C
Az
Az B
P Ma ma i
Q J
M ma M mg M F
(13)
Перед вычислением скалярных произведений в (13) выразим век-
торы ускорений точек
А
и
С
и векторы сил
mg
,
B
F
через единичные
орты
,
i j
:
2
;
0, 5 0, 5
A
C
a xi
a xi
l
l n
;
cos
sin
i
j
;
sin cos
n
i
j
;
mg mg j
;
0
[(1 sin ) cos ]
B
F c l
i
j
.
После вычисления скалярных произведений и моментов векторов
вокруг оси
Az
получим искомую математическую модель относительно
функций
( ), ( )
x t
t
:
2
0,5 cos 0,5 sin 0;
M x m x
l
l
2
0
0,5 cos
0,5 sin
cos ,
Az
ml
x J
mgl
c l
где
2
2
0, 25
3
Az
Cz
J J
ml
ml
— момент инерции массы стержня
вокруг оси
Аz.
Справедливость первого уравнения полученной математической
модели подтверждается тем, что оно соответствует принципу Далам-
бера, примененного для системы подвижных тел в виде нулевой про-
екции главного вектора физических сил и сил инерции на ось
Ох
.
Аналогично второе уравнение с позиции принципа Даламбера пред-
ставляет нулевую сумму моментов внешних физических сил и сил
инерции для стержня
АВ.
Выводы.
1. С помощью обобщенных координат теорему об изменении ки-
нетической энергии в дифференциальной форме, примененной для
