Построение интерактивной обучающей модели…
5
1
1
1
0
0
0,
1, ..., .
r
r
n
n
m
m r
n m
n m
r
m
m r
i
k k
d a k
a
m i k
r
r
dt
(6)
Для доказательства (6) надо в многочлене
P
(
k
) выделить отдель-
ным множителем корень
1
k
:
1
1
1
1
0
,
n r
r
i
n r i
i
P k k k
a k
(7)
а затем провести
1 1
r
раз дифференцирование многочлена (7),
каждый раз убеждаясь в справедливости равенства (6). Напомним,
что характеристическое уравнение (5) соответствует дифференци-
альному уравнению
0
0
m
n
n m m
m
d a
x t
dt
. (8)
На основании формулы (6) можно показать, что решениями (8)
будут
1
1
1
1
1
1
0
1
1
,
, ...,
.
k t
k t
r k t
r
x t
e x t te
x t t e
(9)
Действительно, подставляя каждое из решений (9) в (8), начиная
с первого, получаем
1
0
0,
n
m
n m
m
a k
так как
1
k
является корнем характеристического уравнения по усло-
вию. Подстановка решения
1
exp 1
x t
t
k t
в (8), очевидно, даст
1
1
1
1
0
1
0.
n
n
k t
m
m
n m
n m
m
m
e t
a k
a mk
(10)
Таким образом, и в этом случае на основании формулы (6) для
2
r
получаем ноль. Можно показать, что справедлива формула диффе-
ренцирования
1
1
0
,
,
m
m
m s
s
r
r
r
r s
m
m
m s
s
i
d
d
d
t x t
t
x t
bk s r
m i t
x t
dt
dt
dt
(11)
где
!
,
, 2
,
1, ..., .
!
!
r
bk s r
r n m n
s r s
Теперь в общем случае надо подставить в (8) выражение
