К.В. Титов, М.В. Будилович, И.В. Дубограй
4
m-
я компонента собственного вектора с номером
s
3
.
s
m
a p j
s m
Дадим словесное описание структуры
eigenvects A
. Как показа-
но ранее, структура
eigenvects A
меняется в зависимости от числа
корней (различных).
Если корень о д и н (пусть кратный), то реквизиты квадратной
скобки
eigenvects A
следующие: корень
1
p j
; его кратность
2
p j
; собственный вектор
3 1
p j
(количество собственных
векторов может быть таково, какова кратность корня); компоненты
собственного вектора
3 1 1
p j
.
Если их н е с к о л ь к о, то в
eigenvects A
количество квадрат-
ных скобок будет равно числу корней. В первой скобке
...
p
при этом будет указан номер набора реквизитов соответствующего
собственного вектора.
После этого иерархическая структура
...
p
строится ана-
логично тому, как было показано ранее.
Теперь можно записать решение СДУ следующим образом:
1
:
,
,
1...
j
p t
i
i
i
X add C e col P j
j
n
.
Случай кратных корней.
Теперь рассмотрим случай, когда сре-
ди корней уравнения (1) могут быть кратные корни.
Систему дифференциальных уравнений
n
-го порядка с постоян-
ными коэффициентами, записанную в нормальной форме, всегда
можно свести к одному дифференциальному уравнению порядка
n
и
наоборот. Причем собственные числа матрицы
A
и корни характе-
ристического уравнения будут одними и теми же [2]. Поэтому выво-
ды, имеющие отношение к одному дифференциальному уравнению
порядка
n
и его характеристическому уравнению, будут справедливы
и для СДУ
n
-го порядка.
Итак, пусть характеристическое уравнение
2
1
2
0
0
...
,
n
m
n
n m
n n
n
m
P k
a k a a k a k
a k
0
1,
a
(5)
имеет корень
1
k
кратности
1 1
r
. Тогда справедлива следующая
формула:
