К.В. Титов, М.В. Будилович, И.В. Дубограй
2
где
1
11 12
1
2
21 22
2
1
2
...
...
,
,
...
...
... ...
...
n
n
n
n
nn
n
x t
a a
a
x t
a a
a
X t
A
a a
a
x t
(1)
можно использовать методы линейной алгебры.
Решением системы (1) в случае простого корня
k
может быть век-
тор-столбец чисел
т
1 2
( , , ..., )
n
y y y
y
, умноженный на
kt
e
[1]. Дей-
ствительно, подставляя это решение в (1), получаем
kt
kt
ke y Ay e
.
Сокращая на множитель
kt
e
, приходим к уравнению
0,
A kE y
(2)
где
Е
единичная матрица. Таким образом, из уравнения (2) следу-
ет, что
kt
ye
(3)
является решением (1), если
det
0
A kE
.
Из характеристического уравнения
det
0
A kE
(4)
определяются различные корни
, 1, 2, ...,
j
k j
J
, имеющие крат-
ность
j
r
. При этом
1
J
j
j
r n
.
Для всякого корня
j
k
находится соответствующее ему частное
решение вида (3). Общее решение системы (1) будет определяться
как линейная комбинация частных решений, образующих фундамен-
тальную систему решений.
Таким образом, для определения
k
получаем многочлен степени
n
, корни которого при
4
n
находятся только численно, и, следова-
тельно, аналитическое решение в общем виде в этом случае получить
невозможно [2]. Если же решение системы дифференциальных урав-
нений (СДУ) искать в виде ряда [3], то возможность получения ана-
литического решения сохраняется.
Случай простых корней.
Рассмотрим случай, когда все корни
характеристического уравнения (4) простые.
