Моделирование и идентификация сложных систем
5
т. е. близость оценки
t
A
к истинному значению оператора
t
A
. Мате-
матическое ожидание от функции потерь обычно называют средним
риском, а критерий оптимальности (8) — критерием минимума сред-
него риска. Соотношение (8) будет выполнено, если потребовать ми-
нимум математического ожидания функции
,
t
t
z
z
при заданной
реализации случайной функции
,
y
т. е.
,
;
min .
t
t
M z z y
T
(9)
Условие минимума соотношения (8) имеет вид
,
;
0.
t
t
t
M z z y
T
z
При идентификации объектов управления в большинстве прак-
тических случаев ищется оптимальный оператор по критерию мини-
мума среднего квадрата ошибки, т. е. принимают
2
,
.
t
t
t
t
z z
z z
(10)
Тогда из условия (9) можно получить уравнение для определения
оптимальной в смысле минимума среднего квадрата ошибки оценки
оператора
:
t
A
;
.
t
z t
A y
M Z t y
T
(11)
Из уравнения (11) следует, что оператор условного математиче-
ского ожидания, т. е. регрессия выходной переменной
Z t
относи-
тельно входной
,
Y t
дает оптимальный в смысле критерия (10) опе-
ратор объекта в классе всех возможных операторов.
Если ограничиться линейным описанием объекта, т. е. оптималь-
ный оператор искать в классе линейных операторов, то путем умно-
жения (11) на входную случайную функцию получаем
.
t
A y v y
M Z t y y v
Применение операции математического ожидания к обеим ча-
стям последнего равенства дает
;
.
t
t
M A Y v Y
M M Z t Y Y v
M A Y v Y
M Z t Y v
(12)
Поскольку
t
A
определяется в классе линейных операторов, то
оператор математического ожидания
М
коммутативен с оператором
