Модель псевдориманова сферически симметричного пространства…
5
2
2
2
4
0
1
11
22
2
2
2
2
2
2
0
1
4
0
2
0
2 2
2
2
2 1
0
1
33
44
2
2
2
2
2
0
0
1
4
0
1 4
14
2
2
2
2
0
1
4
0
3
3
,
,
1
3 1
3
,
,
3
.
x R
x
R
R
R x x R
x R
x x
R x
R
R
R
R x x R
x x
R
R x x R
(9)
Найдем выражение для скалярной кривизны
ij
ij
R g R
. Для этого
воспользуемся формулами (6) и (9). Тогда
2
0
12
R
R
.
(10)
Из справедливости соотношений (5), (9) и (10) следует, что ком-
поненты метрики (4) удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений для гравитационного поля (2). Сформулируем полученные
результаты в виде следующей теоремы.
Теорема.
Четырехмерной псевдосфере
2
2
2
2
2
2
0
t
u x y z R
соответствует нестационарная метрика
2 2
2 2
0
0
2
2
2
2 2 2
2 2 2
0
0
2
2
2
2
2 2 2
0
2
sin
,
R r
R t
ds
dt
dr
R r t
R r t
rt
r d
d
drdt
R r t
компоненты которой удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений гравитационного поля (2).
Скалярная кривизна пространства
R
в каждой точке постоянна и
находится по формуле
2
0
12 .
R
R
Из результата теоремы следует, что, несмотря на зависимость ком-
понент метрики от радиальной и временнóй координат, скалярная кри-
визна в каждой точке пространства остается постоянной. Согласно
соотношению (3), это означает, что плотность распределения массы ма-
терии во всем пространстве постоянна. Для установления законов пере-
мещения массы тел необходимо исследовать поведение геодезических
псевдориманова пространства [14–23]. Несомненный интерес представ-
ляет движение пробных тел по геодезическим в таком пространстве.
Уравнения геодезических в псевдоримановом пространстве име-
ют общий вид
