А.А. Гурченков, И.И. Мороз, Н.Н. Попов
2
с равномерным вращением неинерциальных систем отсчета вокруг
неподвижного центра сферической симметрии [6]. Отметим, что для
метрики (1) выполняются условия
2
0
2
2
22
11 44 14
2 2 2
0
2 2 2
0
0, ...,
0, ...,
если
0.
R
g r
g g g
R r t
R r t
Это означает, что при выполнении условия
2 2 2
0
0
R r t
мет-
рика (1) описывает сферически симметричное псевдориманово про-
странство сигнатуры
. Пространство, соответствующее мет-
рике (1), представляет собой четырехмерную псевдосферу [7–13]
2
2
2
2
2
2
0
,
t
u x y z R
на которой группа
2, 3
SO
действует транзитивно.
Покажем, что метрика (1) удовлетворяет системе дифференци-
альных уравнений для гравитационного поля
2
1
8
,
2
ij
ij
ij
G
R Rg
g
c
(2)
где
R
ij
— тензор Риччи;
R
— скалярная кривизна пространства;
G
— гра-
витационная постоянная;
с
— скорость света; ρ — плотность распреде-
ления массы материи в пространстве;
g
ij
— метрика псевдориманова
пространства.
Это уравнение было впервые введено в работе [7]. Оно учитывает
тот фундаментальный факт, что скалярная кривизна пространства
пропорциональна плотности распределения массы материи в нем.
Данная зависимость определяется формулой
2
32
c R
G
.
(3)
Для удобства вычислений перейдем к следующей системе коорди-
нат:
1
,
x r
2
cos ,
x
3
,
x
4
.
x t
Тогда метрика (1) примет вид
2
2
2
2
0
1
4
0
2
2
2
4
1
2
2
2
2
2
2
0
1
4
0
1
4
R x
x R
ds
dx
dx
R x x
R x x
2
2
1 4
2
2
2
1
2
3
1 4
2
2
2
2
2
0
1
4
2
(1 )
.
1
dx
x x
x
x dx
dx dx
x
R x x
(4)
