А.М. Цалкович, П.В. Храпов
4
где
n
— количество внутридневных наблюдений. Реализовавшаяся
волатильность (realized volatility) будет несмещенной оценкой реаль-
ной условной волатильности при выполнении следующих условий:
,
1
[ | ] 0
t i t
E r I
и
,
,
1
cov( , | ) 0
i t
j t
t
r r I
,
i j
.
Тогда справедливо следующее равенство:
1
,
1
,
1
1
1
σ var[ | ] var
|
var[ | ]
m
m
t
t t
i t
t
i t
t
i
i
r I
r I
r I
2
,
1
1
1
[ | ] [
| ],
m
n
i t
t
t
t
i
E r I
E RV I
где
n
t
RV
— реализовавшаяся волатильность. В настоящей работе реа-
лизовавшаяся волатильность используется как аппроксимация услов-
ной волатильности для определения предсказательной силы различ-
ных моделей.
Модели условной волатильности.
Рассмотрим значение фондового
индекса
1,..., .
,
t
p t
T
Доходность определяется как
1
log log
t
t
t
r
p
p
.
Базовую динамическую модель для доходностей можно сформулировать
как
1
[ | ] ε
t
t
t
t
r E r I
, где
1
t
I
— это
σ
-алгебра, порожденная доступной
на момент
1
t
информацией.
Условная плотность
1
,
( | )
( |μ σ , η )
t
t
t
t
t
t
f r I
f r
,
где
1
μ [ | ]
t
t
t
E r I
— условное среднее;
2
1
σ var[ | ]
t
t
t
r I
— условная
дисперсия;
η
t
— вектор параметров, задающих форму условной плот-
ности распределения. В большинстве моделей GARCH-семейства под-
разумевают, что
η
t
не зависит от времени
t
и вся условная плотность
f
(
.
) совпадает с плотностью распределений Гаусса или Стьюдента.
Основное предположение GARCH-моделей состоит в том, что
условные остатки
1
ε
[ ]
t
t
t
t
r E r
могут быть представлены в виде
σ
t
z
,
где
z
имеет известное распределение (обычно стандартное нормаль-
ное), не зависящее от времени. Данные случайные величины независи-
мые и случайно распределенные. Если предположение справедливо, то,
для того чтобы отразить зависящие от времени гетероскедастические
эффекты, необходимо задать динамику волатильности.
