Колебания упругих одномерных систем с трением
7
Вычислим приведенный коэффициент вязкого сопротивления
0
i
μ
для механического аналога. Функция Рэлея для эквивалентной си-
стемы
0 2
экв
1
1
2
i i
i
y
∞
=
Φ = μ
∑
.
(7)
Функция Рэлея для продольных колебаний балки
2
1 0
1
( , ) .
2
l
i
i
u x t dx
∞
=
Φ =
μ
∑ ∫
С учетом ортогональности функций
( )
i
f x
i
-е слагаемое в разло-
жении (8) имеет вид
2
2
0
1
.
2
l
i
i i
i
f dx s
⎡
⎤
Φ = μ⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(8)
Сравнивая выражения (7) и (8), получаем
0
.
i
i
i
f
μ = μ
Дифференциальное уравнение вынужденных поперечных коле-
баний для эквивалентной системы примет вид
0
0
0
,
i i
i i
i i
i
m y
y c y Q
+ μ + =
(9)
где
0
( (
) ( ) ,
l
k k
i
i
i
i
F r
Q
F x x f x dx
y
δ
=
= + δ −
δ
∑ ∫
(10)
или
0
cos(
) ( )
i
i
Q F pt
f x
=
+ β
.
Уравнение (9) с учетом выражения (10) принимает вид
2
2
cos(
),
i
i i
i i
i
y n y
y h pt
+ + ω =
+ α
(11)
где
0
0
2
/ ,
i
i
i
n
m
= μ
2
0
0
/
i
i
i
c m
ω =
— собственные частоты продольных
колебаний без трения.
Частное решение уравнения (11) представим следующим обра-
зом:
cos(
),
i
i
i
y B pt
∗
=
+ α − ε
где
i
B
— амплитуда вынужденных колебаний:
