Колебания упругих одномерных систем с трением
3
( , )
( ) ( ),
u x t
f x s t
=
где
( )
f x
— форма колебания;
( )
s t
— временной множитель.
Запишем граничные условия системы (см. рис. 1) для функции
:
f
(0) 0,
f
=
( ) 0.
f l
′ =
Решение
( )
i
f x
имеет вид [8]
(
)
2 1
sin
,
1, 2, ...
2
i
i
x
f
i
l
− π
=
=
На первом этапе решения задачи сила сухого трения интенсивно-
стью
(ин)
тр
q
не рассматривается.
Функция
( )
cos(
),
i
i
i
i
s t
A t
=
ω − α
где
i
A
и
i
α
— константы, под-
лежащие определению;
i
ω
— частота
i
-го тона свободных колебаний.
Решение
( , )
u x t
должно удовлетворять следующим начальным
условиям:
( , ) ( ),
u x t
x
= ϕ
( , )
( ).
u x t
x
t
∂
= ψ
∂
Таким образом, решение дифференциального уравнения (1) име-
ет вид
1
( , )
( ) cos(
).
i i
i
i
i
u x t
A f x
t
∞
=
=
ω − α
∑
Известно [8, 9], что функции
( )
i
f x
удовлетворяют условиям ор-
тогональности:
0
0
0,
,
( ) ( )
,
.
l
i
j
i
i j
f x f x dx
f
i j
≠
⎧
μ
= ⎨
=
⎩
∫
Построим для колебаний однородной консольной балки приве-
денную эквивалентную систему. Основным постулатом при этом яв-
ляется равенство частот собственных колебаний консольной балки
(уравнение (1)) и ее механического аналога [10]. Механический ана-
лог исходной системы представим в виде бесконечной системы ли-
нейных осцилляторов (рис. 2).
Постулируя равенство собственных частот колебаний системы и
механического аналога и сравнивая кинетические и потенциальные
энергии системы, находим [10]
0
2
0
0
( ) ,
l
i
i
m f x dx
= μ
∫
0
2
0
0
( ) ,
l
i
i
c EF f dx
′
=
∫
где
0 0
,
i
i
m c
— приведенные масса и жесткость механического аналога.
