Колебания упругих одномерных систем с трением
5
Запишем решение уравнения (3):
1
( )
cos(
),
i
n t
i
i
i
i
y t
A e
t
−
=
ω − α
(4)
где
2
2
2
1
.
i
i
i
n
ω = ω −
Отметим, что величины
i
n
и
1
i
ω
при таком подходе обратно-
пропорциональны амплитуде
i
A
. Частота
1
i
ω
зависит от неизвестной
постоянной
.
i
A
Запишем, используя выражение (4), общее решение уравнения (1)
с учетом трения
1
1
( , )
( )
cos(
).
i
n t
i i
i
i
i
y x t
A f x e
t
∞
−
=
=
ω − α
∑
Удовлетворим начальным условиям:
1
1
1
( )
( ) cos ,
( )
( ) cos
( ) cos .
i i
i
i
i i
i
i
i i
i
i
i
i
x
A f x
x
A f x n
A f x
∞
=
∞
=
ϕ =
α
ψ = −
α +
ω α
∑
∑
∑
(5)
Используя условия ортогональности функций
( )
i
f x
, из первого
условия (5) получим
0
( ) ( )
cos
l
i
j
j
j
x f x dx
A
f
ϕ
=
α
∫
.
Из второго условия (5) найдем
1
1
1
1
( )
( )
( )
.
i i
i
i i
i i
i
x
b f x n A f x
∞
∞
=
ψ = −
+
ω α
∑ ∑
С учетом условий ортогональности имеем
1
1
0
( ) ( )
sin
l
j
j j
j
j
j
j
x f x dx b n A
f
ψ
= − + ω α
⎡
⎤
⎣
⎦
∫
.
Обозначим
0
2
( ) ( )
,
l
j
j
j
x f x dx
b
f
ψ
=
∫
