Развитие задачи Н.Е. Жуковского о плоском рассеве
1
УДК 531
Развитие задачи Н.Е. Жуковского о плоском рассеве
© В.В. Андронов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В статье Н.Е. Жуковского «Заметка о плоском рассеве» (1896), исследована зада-
ча о движении частицы материала (материальной точки) по горизонтальной
плоской опоре (ситу) с круговыми поступательными колебаниями в своей плоско-
сти. В настоящей работе, являющейся естественным обобщением этой задачи,
рассмотрено движение по такой же плоскости тела конечных размеров, когда
фрикционный контакт осуществляется по некоторой площадке, а центр масс
тела возвышается над этой площадкой. На примере тела, имеющего форму пря-
мого кругового цилиндра, показано, что в установившемся движении реальное те-
ло не только совершает круговое движение (как в задаче Жуковского), но еще и
вращается вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью. Получены
формулы для определения скоростей обоих компонент движения.
Ключевые слова:
колебания, сухое трение, распределенный фрикционный кон-
такт, локальный закон Кулона, сила, момент трения.
Введение.
В связи с развитием вибрационных технологий, про-
исходившим особенно интенсивно в 50–70 годы прошлого века, упо-
мянутая выше статья Н.Е. Жуковского [1] вновь стала актуальной и
получила дальнейшее развитие. Была исследована устойчивость
найденного Н.Е. Жуковским решения [2], сделано обобщение задачи
на случай наклонной плоскости [3], изучены разнообразные вибра-
ционные технологические процессы, приводящие в конечном итоге к
уравнениям того же вида, что и в задаче Н.Е. Жуковского [2–6]. Од-
нако во всех перечисленных работах движущийся объект — матери-
альная точка.
Представляет интерес рассмотреть задачу Н.Е. Жуковского для
твердого тела. В отличие от материальной точки тело контактирует с
опорной плоскостью по некоторой площадке с конечными размера-
ми, центр масс тела возвышается над опорой и др. Это создает усло-
вия для появления качественно новых свойств движения, которые не
обнаруживаются в рамках точечной модели. Следует добавить, что в
последние годы динамика систем с распределенным фрикционным
контактом интенсивно развивалась в работах [7–15] и сформирова-
лись вполне определенные подходы к решению подобных задач.
Задача о плоском рассеве для твердого тела.
Рассмотрим дви-
жение тела с плоским основанием по горизонтальной плоскости, со-
вершающей поступательные круговые колебания в своей плоскости.
Тело примем в виде прямого кругового цилиндра радиусом
R
и высо-
той
.
h
Пусть
1 1 1 1
O X Y Z
— неподвижная система координат, плоскость
1 1 1
O X Y
которой совпадает с колеблющейся плоскостью;
OXYZ
— оси,
