В.В. Андронов
6
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
sin
соs
cos
sin
,
cos
sin
sin
cos
.
x
y
x
y
m V t
t T t
T t
m V t
t T t
T t
− ν ν − α = Φ ν +
ν −α −
ν − α
ν ν −α = Φ ν + ν − α +
ν − α
Умножая первое уравнение на
(
)
sin
t
− ν −α
и складывая со вторым,
умноженным на
(
)
cos
,
t
ν − α
имеем
0
sin
.
y
m V
T
ν = Φ α +
Аналогично,
складывая первое уравнение со вторым, предварительно умножен-
ными на
(
)
cos
t
ν −α
и
(
)
sin
t
ν −α
соответственно, приходим к равен-
ству
0
cos
0.
x
T
Φ α + =
В итоге получаем следующие уравнения для
определения параметров установившегося движения (величин
, ,
):
z
V
α ω
0
0
sin
,
cos
0,
0.
y
x
z
m V
T
T
M
ν = Φ α + Φ α + =
=
(9)
Учитывая сложный вид выражений для ,
x y
T T
и
,
z
M
найти ана-
литическое решение полученных уравнений затруднительно. Однако
простые опыты показывают, что угловая скорость вращения
ω
в
установившемся движении весьма мала, чем можно воспользоваться
для упрощения подынтегральных выражений в формулах (6) и полу-
чить для ,
x y
T T
и
z
M
простые аналитические выражения.
Разлагая функцию
( )
2
2 2
1
,
2 sin
z
v
rv
r
ϕ ω =
− ω θ + ω
входящую в качестве множителя в подынтегральные выражения в
формулах (6), в ряд по степеням
z
ω
и сохраняя в разложении только
линейные по переменной
z
ω
слагаемые, получаем
( )
2
1 sin .
z
r
v v
θ
ϕ ω = +
ω
Подставляя это разложение в формулы (6) и вычисляя соответству-
ющие двойные интегралы, находим
(
)
2
0
4
4
0
,
cos ,
4
sin
.
4
x
y
z
z
z
T f
R
f R
T
q
v
f R M
qv
v
= − σ π
π
= −
ω α
π
=
α − σ ω
Теперь подставляя эти значения , ,
,
x y
z
T T M
в которых следует поло-
жить
,
v V
=
в формулы (9) и раскрывая обозначения
0
, ,
q
σ
получаем
