Развитие задачи Н.Е. Жуковского о плоском рассеве
5
Проекции силы трения на эти оси и момент трения с использова-
нием полярных координат
,
r
θ
запишем как
(
)
(
)
0
2
2 2
sin
cos
,
2 sin
z
x
z
v r
T f
qr
rdrd
v
rv
r
− ω θ
= − σ +
α − θ
θ
− ω θ + ω
∫∫
(
)
(
)
0
2
2 2
cos
cos
,
2 sin
z
y
z
r
T f
q r
rdrd
v
rv
r
ω θ
= − σ +
α − θ
θ
− ω θ + ω
∫∫
(6)
(
)
(
)
(
)
2
2
0
2
2 2
cos
sin sin
cos
.
2 sin
z
z
z
z
v r
M M f
qr
r drd
v
rv
r
ω θ − − ω ω θ
= = − σ +
α − θ
θ
− ω θ + ω
∫∫
Возвращаясь к основной системе координат
,
OXYZ
получаем
(
)
(
)
cos
sin
,
X x
y
T T
t
T t
=
ν − α − ν − α
(
)
(
)
sin
cos
,
Y
x
y
T T t
T t
= ν − α +
ν − α
т. е. уравнения (2) можно представить в следующем виде:
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
cos
cos
sin
,
sin
sin
cos
,
.
CX
x
y
CY
x
y
z
z
z
dvm
t T t
T t
dt
dvm
t T t
T t
dt
dJ
M
dt
= Φ ν +
ν − α −
ν − α
= Φ ν + ν − α +
ν − α
ω
=
(7)
Здесь
,
CX CY
v v
— проекции относительной скорости центра масс ци-
линдра на оси
OXYZ
, а , ,
x y
z
T T M
определяются выражениями (6).
Уравнения (7) допускают частное решение
(
)
(
)
cos
,
sin
,
const,
const 0,
const,
CX
CY
z
v V t
v V t
V
= ν − α
= ν − α
ω =
= > α =
(8)
определяющее установившееся относительное движение тела по ко-
леблющейся плоскости. В этом предельном движении центр масс ци-
линдра равномерно перемещается по круговой траектории радиусом
H V
= ν
и одновременно вращается с постоянной угловой скоростью
ω
вокруг своей оси в сторону движения плоскости
(
)
z
при 0
ω >
либо
против движения плоскости
(
)
при 0 .
z
ω <
Подставляя равенства (8) в
первое и второе уравнения системы (7), получаем
