Развитие задачи Н.Е. Жуковского о плоском рассеве
3
Составляющие силы трения и момент трения определяются инте-
грированием по площадке контакта выражений для силы и момента,
записанных на основе закона сухого трения Кулона для малого эле-
мента площадки контакта (закон Кулона в локальной форме):
( )
( )
( ) (
)
,
,
.
X
Y
X
Y
u
u
T f
r
dS T f
r dS
u
u
r
M f
r u dS
u
= − σ
= − σ
σ
= −
×
∫∫
∫∫
∫∫
(3)
Здесь
f
— коэффициент трения;
r
— радиус-вектор малого элемен-
та площадки контакта, проведенный из центра основания цилиндра;
( )
r
σ
— закон распределения нормального давления по площадке
контакта;
dS
— площадь этого элемента;
(
)
,
X Y
u u u
— относительная
скорость элемента.
Как следует из соотношений (2), (3), для вычисления составляю-
щих силы трения и последующего определения движения тела по ко-
леблющейся плоскости требуется знать распределение нормальных
напряжений в области контакта. Упрощая, будем считать, что распре-
деление
( )
,
r
σ
равномерное при покое цилиндра на неподвижной
плоскости, при колебаниях плоскости деформируется в направлении
переносной силы инерции
Φ
по линейному закону
( )
0
1
.
r
q y
σ = σ +
Здесь
0
σ
— интенсивность равномерного распределения;
q
— по-
стоянный коэффициент;
1
y
— координата, отсчитываемая в направле-
нии силы
.
Φ
Значения
0
σ
и
q
примем такими же, как при прямоли-
нейном и равномерном движениях цилиндра под действием приложен-
ной в его центре масс горизонтальной постоянной силы
.
Φ
В этом
случае уравнения динамики имеют следующий вид (рис. 2):
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
,
0,
1
0.
2
c
ma
f
qy dx dy
qy dx dy mg
qy ydydx f h
qy dx dy
= Φ − σ +
σ +
− =
σ +
−
σ +
=
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
(4)
Интегрируя по всей площади основания цилиндра, при
0
c
a
=
находим
0
2
4
2
,
,
.
mg
fmgh
q
fmg
R
R
σ =
=
Φ =
π
π
