Метод подавления шума в изображениях на основании кратномасштабного анализа
5
Дискретное вейвлет-преобразование.
Формулы для дискретно-
го вейвлет-преобразования нельзя получить просто дискретизацией
соответствующих формул непрерывного преобразования [12]. И. До-
беши удалось найти метод, позволяющий построить (бесконечную)
серию ортогональных вейвлетов, каждый из которых определяется
конечным числом коэффициентов [7]. Стало возможным построить
алгоритм, реализующий быстрое вейвлет-преобразование на дис-
кретных данных (алгоритм Малла) [13].
Вначале опишем дискретное вейвлет-преобразование (DWT,
англ. discrete wavelet transform) в матричном виде, а затем — на осно-
ве банков фильтров, что наиболее часто используется при обработке
сигналов.
В обоих случаях мы предполагаем, что базисные функции
ϕ
(
x
) и
ψ
(
x
) компактно определены. Это автоматически гарантирует финит-
ность последовательностей
h
n
и
g
n
. Далее предположим, что сигнал,
подвергаемый преобразованию, имеет длину
T
= 2
d
,
d
∈
Z
+
[6].
Матричное описание DWT.
Обозначим через вектор
v
j
последо-
вательность конечной длины
c
j,n
для некоторого
j
. Он преобразуется в
вектор
v
j+1
, содержащий последовательности
c
j+1,n
и
d
j
+1
,n
, каждая из
которых половинной длины. Преобразование может быть записано в
виде матричного умножения
v
j
+1
=
M
j
v
j
, где матрица
М
j
— квадратная
и состоит из нулей и элементов
h
n
, умноженных на
2
. В силу
свойств
h
n
[6], матрица
М
j
является ортонормированной, и обратная
ей матрица равна транспонированной. В качестве иллюстрации рас-
смотрим следующий пример. Возьмем фильтр длиной
L =
4, последо-
вательность длиной
N
= 8, а в качестве начального значения —
j
= 0.
Последовательность
g
n
получим из
h
n
по формуле
g
n
= (
−
1)
n
h
−
n
+2
t
+1
,
(13)
где
t = L/
(2 – 1)
=
4.
Тогда операция матрично-векторного умножения будет пред-
ставлена в виде
