Л.Л. Волкова
4
где
h
n
— некоторая последовательность. Равенство (6) является од-
ним из основных в теории вейвлет-анализа и имеет различные назва-
ния в литературе, будем называть его масштабирующим уравнением.
Представление функций при помощи вейвлетов.
Область
L
2
(
R
)
построена из множества «колец», которые представляют собой
разность между двумя соседними пространствами [6]. Эти разност-
ные пространства обозначаются через
W
m
и определяются как орто-
гональные дополнения областей
V
m
до
V
m–
1
:
1
m m m
V V W
−
= ⊕
,
{0}
m
m Z
W
∈
=
I
,
2
( )
m
m Z
W V R
∈
=
U
.
(7)
Пусть
ψ
(
x
) =
ψ
0,0
(
x
) — базисная функция
W
0
. Так как
ψ
0,0
(
x
)
∈
W
0
⊂
V
–1
, то можно записать
1/2
0,0
1,
ψ ( ) 2
φ ( )
n n
n
x
g
x
−
=
∑
(8)
для некоторой последовательности
g
n
. По аналогии с ранее рассмот-
ренным множеством функций
ϕ
m, n
(
x
) определим семейство вейвлет-
функций:
/2
,
ψ ( ) 2 ψ(2
)
m
m
m n
x
x n
−
−
=
−
.
(9)
Эти функции образуют ортонормированный базис
L
2
(
R
).
Определение функций вейвлетов позволяет нам записать любую
функцию
f
(
x
)
∈
L
2
(
R
) в виде суммы проекций на
W
j
,
j
∈
R
:
( )
( )
j
j
f x
e x
∞
=∞
=
∑
,
(10)
где
,
,
( )
ψ ( ), ( ) ψ ( )
j
j k
j k
k
e x
x f x
x
=
∑
.
(11)
Если осуществлять анализ функции вплоть до некоторого мас-
штаба
m
, то
f(x)
будет представлена суммой ее аппроксимаций
f
m
(
x
)
∈
V
m
и множества деталей
e
j
(
x
)
∈
W
j
:
,
,
,
,
,
,
,
,
( )
( )
( )
φ ( ), ( ) φ ( )
ψ ( ), ( ) ψ ( )
φ ( )
ψ ( ).
m
m
j
m n
m n
j
n
m
m
j k
j k
m n m n
j k j k
j
k
n
j
f x f x
e x
x f x
x
x f x
x
c
x
d
x
=∞
=−∞
=−∞
= +
=
+
+
=
+
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
(12)
