Метод подавления шума в изображениях на основании кратномасштабного анализа
3
2
1
0
1
2
,
V V V V V
−
−
⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂
K
K
2
{0},
( )
m
m
m Z
m Z
V
V L R
∈
∈
=
=
I I
,
(1)
Далее, эти пространства имеют следующее свойство: для любой
функции
f
(
x
)
∈
V
m
ее сжатая версия будет принадлежать пространству
V
m
–1
:
1
( )
(2 )
m
m
f x V f x V
−
∈ ⇔ ∈
.
(2)
И, наконец, последнее свойство кратномасштабного анализа: су-
ществует такая функция
ϕ
(
x
)
∈
V
0
, что ее сдвиги
ϕ
0,
n
(
x
) =
ϕ
(
x
–
n
),
n
∈
Z
образуют ортонормированный базис пространства
V
0
.
Так как функции
0,
( )
n
x
ϕ
образуют ортонормированный базис
пространства
V
0
, то функции
/2
,
( ) 2 (2
)
m
m
m n
x
x n
−
−
ϕ = ϕ −
(3)
образуют ортонормированный базис пространства
V
m
. Эти базисные
функции называются масштабирующими, так как они создают мас-
штабированные версии функций в
L
2
(
R
). Из кратномасштабного ана-
лиза, определенного выше, следует, что функция
f
(
x
) в
L
2
(
R
)
может
быть представлена множеством последовательных ее приближений
f
m
(
x
) в
V
m
. Другими словами, функция
f
(
x
)
есть предел аппроксимаций
f
m
(
x
)
∈
V
m
при
m
, стремящемся к минус бесконечности:
( ) lim ( )
m m
f x
f x
→∞
=
.
(4)
Отсюда появляется возможность анализа функции или сигнала на
различных уровнях разрешения, или масштабах. Переменная
m
назы-
вается масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Если зна-
чение
m
велико, то функция в
V
m
есть грубая аппроксимация
f
(
x
) и
детали отсутствуют. При малых значениях
m
имеет место точная ап-
проксимация. Из определения кратномасштабного анализа следует,
что все функции в
V
m
могут быть представлены как линейная комби-
нация масштабирующих функций. В действительности,
f
m
(
x
) есть ор-
тогональная проекция
f
(
x
) на
V
m
:
.
,
,
,
( ), ( )
( )
( ).
m
m n
m n
m n m n
n
n
f
x f x
x
c
x
= ϕ
ϕ =
ϕ
∑
∑
(5)
Так как
0,0
0
1
( )
( )
x
x V V
−
ϕ = ϕ ∈ ⊂
, можно записать
1/2
0,0
1,
( ) 2
( ) 2
(2 )
n n
n
n
n
x
h
x
h x n
−
ϕ =
ϕ =
ϕ −
∑
∑
,
(6)
