Синтез закона управления продольным движением космического аппарата …
3
Рассмотрим линейную многомерную динамическую систему
= +
z Az Bu
D
,
(7)
где
n
∈
z
— вектор состояния;
r
∈
u
— вектор входа; — мно-
жество действительных чисел;
n
>
r
;
D
— символ, обозначающий
либо оператор дифференцирования —
( )
( )
x
x
′=
z
z
D
, либо оператор
сдвига —
( ) ( 1)
x
x
= +
z
z
D
.
Предполагается, что матрица
n r
×
∈
B
имеет полный ранг, а мат-
рица
n n
×
∈
A
заведомо неустойчива, т. е. множество ее собственных
значений (
спектр
)
( )
(
)
{
}
eig
: det
0
i
n
= λ ∈ λ − =
A
I A
,
где I
n
— единичная матрица размера
n
×
n
, — множество комплекс-
ных чисел (комплексная плоскость), обязательно включает такие
λ
i
∈
, что
( )
Re λ 0
i
>
для случая
( )
( )
x
x
′=
z
z
D
и
λ 1
i
>
для случая
( ) ( 1)
x
x
= +
z
z
D
. Здесь
λ
i
— модуль собственного значения
λ
i
.
Введем понятие
stab
, которое в дальнейшем в зависимости от
типа изучаемой MIMO-системы (непрерывной или дискретной) будет
обозначать, соответственно, левую полуплоскость
−
плоскости ,
т. е.
stab
−
=
, либо область внутри круга единичного радиуса с цен-
тром в начале , т. е.
stab
λ 1
<
=
.
Считается, что для системы (7) существует управление с обрат-
ной связью вида
=
u Kx
,
(8)
где
r n
×
∈
K
— матрица регулятора по состоянию.
Управление системой (7) с помощью законов (8) является клас-
сической задачей, когда необходимо найти такую матрицу K, что
обеспечиваются некоторые заданные требования к процессу управ-
ления, в частности требования на размещение полюсов замкнутой
системы (собственных значений матриц
−
A BK
) в заданных точках
stab
или в заданной области
stab
(такой областью, например, может
быть вся левая полуплоскость ).
Хорошо известно, что характеристический полином
(
)
det
n
λ − −
I A BK
,
(9)
где
λ
=
s
для случая
( )
( )
x
x
′=
z
z
D
и
λ
=
z
для случая
( ) ( 1)
x
x
= +
z
z
D
задают распределение полюсов замкнутой системы на . Они явля-
ются определяющими в отношении устойчивости MIMO-системы.
