Д.Е. Ефанов, Е.А. Микрин, М.Ш. Мисриханов, А.В. Филимонов
2
нию нормали к его поверхности. Решение задачи сводится к совмест-
ному разрешению двух матричных уравнений в квадратичной форме.
На втором шаге происходит вычисление искомых геодезических ко-
ординат по известным формулам. Предлагаемое решение наиболее
близко к представленным в [6, 7]. При этом, в отличие от [7], оно
находится непосредственно путем определения координат спроеци-
рованной точки, а не с помощью дополнительного параметра, а в [6]
решение имеет итерационный вид, замкнутый вид, получаемый с по-
мощью решения пары матричных уравнений в квадратичной форме.
1. Постановка задачи.
Формулы вычисления пространственных
прямоугольных геоцентрических координат по известным геодезиче-
ским имеют вид для точек, расположенных на поверхности эллипсо-
ида вращения:
(
)
2
cos cos
cos sin
1
sin
E
E
E
x
N
y
N
z
e N
⎡
⎤
ϕ λ
⎡ ⎤ ⎢
⎥
⎢ ⎥ =
ϕ λ
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
−
ϕ
⎣ ⎦ ⎢
⎥
⎣
⎦
,
(1)
и для точек, расположенных над или под поверхностью эллипсоида
вращения,
(
)
(
)
(
)
(
)
2
cos cos
cos sin
1
sin
G
G
G
x
N h
y
N h
z
e N h
⎡
⎤
+ ϕ λ
⎡ ⎤ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
= + ϕ λ
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ ⎦
− + ϕ
⎣
⎦
,
где
x
G
,
y
G
,
z
G
— прямоугольные координаты точки, расположенной
над или под поверхностью эллипсоида вращения;
x
E
,
y
E
,
z
E
— прямо-
угольные координаты точки, расположенной на поверхности эллип-
соида;
ϕ
,
λ
,
h
— геодезические эллипсоидальные координаты (широ-
та, долгота, высота);
a
,
b
— большая и малая полуоси эллипсоида;
N
— радиус кривизны первого вертикала
2
2 2
2 2
2 2
1 sin
cos
sin
a
a
N
e
a
b
=
=
−
ϕ
ϕ +
ϕ
,
где
e
2
— квадрат первого эксцентриситета эллипсоида
2
2
1
b
e
a
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
.
Как видно из приведенных выражений, преобразование геодези-
ческих координат в прямоугольные осуществляется в явном виде с
