Применение кватернионов в модальном управлении ориентацией …
9
где
(
)
0
1
= − +
P Φ Φ
,
0 1
=
Q Φ Φ
.
В пакете символьных вычислений Matlab была проведена про-
верка полученных соотношений (4.9), (4.10) и (4.11), которая под-
твердила, что:
1)
(
)
( )
2
2 2
2
eig
eig ,
−
=
A B K Φ
2)
(
)
( )
( )
1 1 1
2
1
eig
eig
eig ,
−
= Φ
A B K
Φ
∪
3)
(
)
( )
( )
( )
0
0
2
1
0
eig
eig
eig
eig .
−
=
0
A B K Φ Φ Φ
∪
∪
Таким образом, на каждом такте управление
u
рассчитывается из
соотношения (3.2), где
ξ
определено согласно (2.4), а
K
=
K
0
— со-
гласно (4.11).
5. Выбор корней характеристического полинома.
С целью
упрощения выражений (4.11) для матрицы регулятора
K
положим,
что матрицы желаемых корней
Φ
1
и
Φ
0
равны, имеют по три одина-
ковых собственных значения и могут быть записаны в диагональной
форме
Φ
0
=
Φ
1
=
a
E
3
, где
a
— некоторое действительное число. Ве-
личину оставшегося корня
ϕ
2
будем задавать переменной на раз-
личных вычислительных тактах с постоянным действительным ко-
эффициентом
b
согласно выражению
T
2
b
ϕ =
ω ω
. С целью умень-
шения влияния переменного корня на переходный процесс, а также
из соображений устойчивости назначим
b
= –0,01. В результате
(4.11) примет вид
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
1
T
1
T
2
3
1 T
3
,
,
,
2 1 0, 02 0, 01 ,
0,5 1 0, 08
2 ,
2 0, 01
.
a
a
a
a
a
λ
−
λ
λ
−
λ
λ
−
ω ω
⎡
⎤
= ⎣
⎦
= −
+
−
= −
+
−
= −
−
λ
ω
K K K K
K M JD ω
ω ω
K M JD
ωω E
K M J E D ωω D
(5.1)
В записи равенств (5.1) используется только один переменный
параметр
a
. Из условия устойчивости ЗСАР вида (3.1) с матрицей ре-
гулятора (5.1) следует строгая отрицательная определенность данно-
го параметра —
a
< 0. Для поиска конкретных значений
a
условно
положим, что длительность вычислительного такта БЦВМ мала
0
h
→
, а вычисления в бортовом компьютере и отработка управляю-
щих сигналов на двигателях производятся мгновенно. Тогда, под-
ставляя значение управляющего момента
M
у
=
u
из (3.2) с учетом
(2.4) и (5.1) в полную модель углового движения КА (2.1), получим
систему уравнений управляемого движения:
