Н.Е. Зубов, А.В. Лапин, Е.А. Микрин
4
T
1 3
3 3
1
1
1
1
,
0
0,5
0,5
0,5 ,
,
×
×
×
×
−
−
−
−
= + +
⎡
⎤
⎡ ⎤
−
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
= =
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
0
1 3
3 3
λ
λ
ω
x Ax Bu Nξ
,
ω ,
0
0
A ω,
0 ,
D B N 0
J M , J M , J M
J
(2.4)
где
3
= +
D L E
,
(
)
0
1
,
= − λ − − −
0
λ
λ
ω
ξ M M
M λ M ω
n
E
— единичная
матрица размерности
n
.
3. Учет постоянного возмущения.
Уравнение (2.4) описывает
объект регулирования, подверженный на каждом такте внешнему де-
терминированному возмущению
ξ
(
t
) = const. Требуется найти управ-
ление u, при котором установившаяся ошибка по вектору состояния
уст
lim ( )
t
t
→∞
=
x
x
удовлетворяла бы условию
x
уст
=
0
7
×
1
, а корни характе-
ристического уравнения замкнутой САР (ЗСАР) располагались бы
заданным образом в плоскости корней.
Пусть
u
уст
— установившаяся ошибка по вектору управления. То-
гда, поскольку
ẋ
=
0
7
×
1
, из уравнения (2.4) следует, что
Ax
уст
+
Bu
уст
= –
N
ξ
,
а конкретный вид матриц
B
и
N
позволяет запи-
сать соотношение
u
уст
= –
ξ
.
Для решения задачи введем новые переменные
Δ
x
=
x
–
x
уст
и
Δ
u = u – u
уст
, в которых уравнение объекта (2.4) приобретает вид
.
Δ = Δ + Δ
x A x B u
(3.1)
Предположим, что некоторым образом найдено управление
Δ
u
= –
K
Δ
x
с матрицей регулятора по состоянию
K
размерности 3
×
7,
обеспечивающее требуемое расположение корней ЗСАР. Тогда, со-
гласно определению переменных
Δ
x
и
Δ
u
, очевидно, что искомое
управление
u
должно рассчитываться по формуле
= − −
u ξ Kx
.
(3.2)
Матрицу регулятора
K
будем определять методом точного раз-
мещения полюсов согласно алгоритму, изложенному в [2].
4. Алгоритм точного размещения полюсов.
Задана линейная
многомерная модель объекта (3.1) с вектором состояния
7
Δ ∈
x
и
вектором управления
3
,
Δ ∈
u
где — множество действительных
чисел. Из (2.4) видно, что ранг матрицы управления
7 3
×
∈
B
равен
числу ее столбцов, т. е. входные сигналы линейно независимы. При
этом матрица состояния
7 7
×
∈
A
в общем случае неустойчива, по-
скольку среди ее семи
( 1...7)
j
=
собственных значений в спектре
