Н.Е. Зубов, А.В. Лапин, Е.А. Микрин
2
где
J
— тензор инерции КА,
ω
— вектор угловой скорости КА,
M
в
—
внешний детерминированный возмущающий момент,
M
у
— управ-
ляющий момент.
В общем случае тензор инерции
J
содержит как осевые
J
x
,
J
y
и
J
z
,
так и центробежные моменты инерции
J
xy
,
J
xz
и
J
yz
в ССК:
,
,
,
,
,
,
x
xy
xz
xy
y
yz
xz
yz
z
J
J
J
J
J
J
J
J
J
⎡
⎤
− −
⎢
⎥
= −
−
⎢
⎥
⎢
⎥
− −
⎣
⎦
J
.
(1.2)
Кинематика углового движения КА описывается уравнениями в
параметрах кватерниона [4]. При этом используется собственный
кватернион поворота между системами координат ИСК и ССК:
Λ
T
= [
λ
0
,
λ
T
], где
λ
0
— скалярная часть кватерниона, а
λ
= [
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
]
T
—
его векторная часть. Кинематические уравнения имеют вид
1
2
=
Λ Λ ω
.
(1.3)
Здесь
Λ
— нормированный кватернион
2 2 2 2
0 1
2 3
(
1)
λ + λ + λ + λ =
, а сим-
волом обозначен оператор некоммутативного произведения ква-
тернионов.
Кинематические уравнения (1.3) удобно переписать отдельно для
скалярной и векторной частей кватерниона:
(
)
(
)
(
)
T
0
0
0
3
2
3
1
2
1
0, 5
0, 5 ,
0, 5
0, 5
,
0,
,
,
0,
.
,
,
0
⎧λ = − ⋅
= −
⎪
⎨
= λ + × = λ +
⎪⎩
−λ λ
⎡
⎤
⎢
⎥
= λ
−λ
⎢
⎥
⎢
⎥
−λ λ
⎣
⎦
λ ω ω λ
λ
ω λ ω
ω Lω
L
(1.4)
2. Линеаризация уравнений движения.
Перепишем систему,
составленную из динамических уравнений (1.1) и кинематических
уравнений (1.4), в виде обобщенного векторно-матричного диффе-
ренциального уравнения
(
)
(
)
T
0
1 3
0
3 3
у
1
1
0
0,5
0,5
,
, ,
×
×
−
−
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
λ
−
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= λ + +
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
λ
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣
⎦
ω λ
0
λ
ω Lω 0 M
ω J M λ ω J
(2.1)
для краткости обозначив символом
M
(
λ
0
,
λ
,
ω
) =
M
в
(
λ
0
,
λ
,
ω
) +
M
г
(
ω
)
суммарный детерминированный возмущающий момент, символом
