Скользящие теоретико-числовые преобразования Рейдера
1
УДК 519.216
Скользящие теоретико-числовые
преобразования Рейдера
© В.В. Сюзев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Предложен новый класс быстрых алгоритмов Рейдера скользящего типа, осно-
ванный на выявленной взаимосвязи промежуточных выборок на текущем и преды-
дущих шагах скольжения. Получено аналитическое описание скользящего алго-
ритма Рейдера на различных уровнях прореживания исходной выборки сигнала.
Предложены средства графического представления вычислительного процесса
этого алгоритма в виде сигнальных графов специальной структуры. Получены
аналитические оценки вычислительной сложности разработанных алгоритмов,
подтвердившие их высокую эффективность по сравнению со статическими ана-
логами. Приведенные теоретические результаты проиллюстрированы конкрет-
ными примерами. Разработанные автором скользящие алгоритмы выполнения
преобразований Рейдера являются оригинальными и эффективны для обработки
сигналов любой длительности. Их применение особенно целесообразно при реше-
нии задач обработки спектральными методами в реальном масштабе времени.
Ключевые слова:
числовые базисы, преобразования теоретико-числовые, преобра-
зования Рейдера, спектры, сигнальные графы.
Введение.
Известен широкий круг задач цифровой обработки
сигналов (ЦОС), применяющий частотную область их представления
(фильтрация, аппроксимация, интерполяция, сжатие, обнаружение,
идентификация, распознавание, имитация и т. п.) [1–5]. Математиче-
скую основу частотного представления сигналов составляют дис-
кретные преобразования Фурье (ДПФ) в базисе дискретных ком-
плексных экспоненциальных функций (ДЭФ)
(
)
{
}
exp 2
ki N
γ π
, где
1
γ = −
,
N
задает число отсчетов обрабатываемого сигнала
x
(
i
), а
индексы
k
и
i
принимают значения 0, 1, …,
N
–1. Величина
(
)
exp 2
N
W
N
= γ π
в данном базисе является корнем порядка
N
из
единицы по модулю
N
(так как
1
N
N
W
≡
(mod ))
N
, и сам базис опре-
делен на множестве комплексных чисел
ki
N
W
[1, 2, 6]. По этой при-
чине ДПФ в таком базисе требуют для своей реализации выполнения
операций над комплексными числами.
Вещественной альтернативой базису ДЭФ служат теоретико-
числовые базисы
{ }
ki
α
, использующие корни
α
порядка
N
из едини-
