Математическое моделирование температурного состояния пространственных. . .
заменяют последовательностью решений подобных линейных крае-
вых задач, различающихся численными значениями коэффициентов
уравнения теплопроводности и граничных условий. При этом перед
проведением очередной итерации численные значения коэффициен-
тов определяют в явном виде по полученному на предыдущей итера-
ции решению.
Применение итераций при решении нелинейных уравнений эллип-
тического и параболического типов является известным и достаточно
широко используемым методом [6–12]. Наиболее полные результаты
получены для эллиптических уравнений. Особую проблему при ис-
пользовании итерационного решения составляет сходимость. При ана-
лизе сходимости, как правило, рассматривают обобщенное решение в
подходящем функциональном классе, а в отдельных случаях анализ
проводят на конечномерных подпространствах. Для параболических
уравнений характерно рассмотрение сходимости итераций на конеч-
номерных подпространствах, построенных либо с помощью метода
Гал¨eркина, либо некоторым разностным методом. Одним из подходов
к анализу сходимости последовательных приближений (итераций) яв-
ляется следующий: пусть исходный нелинейный дифференциальный
оператор удовлетворяет двум неравенствам, одно из которых является
некоторым вариантом условия монотонности, а второе — ограничен-
ной нелинейности в некоторой области; тогда дискретный аналог с
помощью процедур какого-либо разностного метода строят так, что-
бы сохранились эти два свойства. После этого теоретические иссле-
дования сходимости итераций в рамках дискретного аналога прово-
дят в соответствии с некоторыми основными положениями теории
монотонных операторов [11–14]. Кроме того, при анализе сходимо-
сти итераций как на дифференциальном уровне, так и на конечномер-
ных подпространствах, если это возможно, используют дифференци-
альные свойства нелинейных операторов — дифференцируемость по
Фреше или, в крайнем случае, по Гато.
Итерационное решение нелинейных задач теплопроводности мож-
но применять в том случае, когда коэффициенты уравнения (1) и гра-
ничных условий (3) и (4) имеют более сложный функциональный
вид, например зависят от криволинейной координаты
h
и времени
t
:
l
(
h
,
)
,
(
h
,
)
,
r
(
h
,
)
,
(
h
,
t
,
)
,
(
h
,
t
,
)
и
a
(
h
,
t
,
)
.
Температурное состояние многокомпонентных стержневых
конструкций
. Конечно-элементная технология решения темпера-
турных задач позволяет рассматривать сложные многокомпонентные
стержневые конструкции, у которых стержни конструктивно пред-
ставляют собой многослойные криволинейные брусья (рис. 1). Пред-
полагается, что в поперечных сечениях стержней отсутствуют гради-
енты температуры.
7
