И.В. Станкевич
Постановка нестационарной задачи теплопроводности.
Рас-
смотрим простейшую стержневую конструкцию, представляющую
собой однородный изотропный криволинейный стержень ([1], рис. 1).
Введем одномерную пространственную криволинейную систему ко-
ординат
′
h
, у которой координата
h
отсчитывается вдоль оси стержня.
Запишем вариант начально-краевой задачи теплопроводности, но
с учетом предположения о том, что в поперечных сечениях стерж-
ня отсутствуют градиенты температуры. Имеем
r
t
(
h
,
t
) =
l
( (
h
,
t
)
,
h
)
,
h
+ (
h
)
,
(
h
,
t
)
∈
(
h
1
,
h
2
)
×
(0
,
] ;
(1)
(
h
,
0) =
0
(
h
)
,
h
∈
[
h
1
,
h
2
] ;
(2)
l
(
h
,
t
)
,
h
|
h
=
h
1
=
,
t
>
0;
(3)
l
(
h
,
t
)
,
h
|
h
=
h
2
=
a
(
−
(
h
,
t
))
|
h
=
h
2
,
t
>
0
,
(4)
где ,
r
,
l
— удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплоп-
роводности материала стержня соответственно;
t
— время;
(
h
,
t
)
—
температура стержня;
(
h
)
— мощность внутренних источников (сто-
ков) теплоты;
0
(
h
)
— начальная температура стержня (предполагает-
ся, что начальное и граничные условия согласованы);
— численное
значение плотности теплового потока на поверхности
2
, в данном
случае принято, что
>
0
, если теплота отводится от поверхности
2
стержня
(︀
(
h
,
t
)
,
h
|
h
=
h
1
>
0
∀
t
>
0
)︀
;
h
1
,
h
2
— координаты торцевых
поверхностей
2
и
3
стержня соответственно
(
h
1
<
h
2
)
;
a
и —
коэффициент теплоотдачи и температура внешней среды вблизи по-
верхности
3
соответственно.
Матричные соотношения МКЭ.
При решении нестационар-
ных задач теплопроводности конечно-элементную дискретизацию по
пространству целесообразно выполнять на основе метода взвешен-
ных невязок в форме Гал¨eркина [2]. Каждому узлу (в глобальной
нумерации [1, 2]) поставим в соответствие финитную функцию
(
= 1
,
,
— глобальное число узлов сетки конечно-элементной
модели). Носителями функций являются объединения областей
¯
( )
тех конечных элементов
( )
, которые содержат данный узел .
Кроме того, предположим что функции линейно независимы. То-
гда температуру и ее производные по координате
h
и времени
t
на
компакте
¯
ℎ
можно интерполировать с помощью следующих соотно-
шений
˜ = [ ]
{ }
;
(5)
˜
,
h
= [
,
h
]
{ }
;
(6)
˙˜ = [ ]
{︁
˙
}︁
.
(7)
2
