Математическое моделирование температурного состояния пространственных. . .
Квадратурная формула для вычисления интегралов (13) по объему
конечного элемента
( )
с учетом соотношений (14)–(16) принимает
вид
[︀
( )
r
]︀
=
∑︁
=1
( )
(
x
)
r
( )
(
x
)
( )
(
x
)
[︁
( )
]︁
т
[︁
( )
]︁ ⎯⎸⎸⎷
3
∑︁
=1
(
,
x
)
2
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒
x
=
x
,
где — число гауссовых точек; — номер гауссовой точки;
x
— ло-
кальная координата гауссовой точки;
— весовой коэффициент квад-
ратурной формулы.
Аналогично можно определить первый интеграл в формуле (9),
при преобразовании дивергентной части используют вторую форму-
лу Грина. В результате получены соотношения, полностью совпадаю-
щие с формулами (14) и (15), приведенными в работе [1]. Это подт-
верждает известное утверждение о том, что процедуры метода Ритца
и метода Гал¨eркина при решении задач с самосопряженными и по-
ложительно определенными операторами приводят к одинаковым по
конструкции системам алгебраических уравнений [3].
Таким образом, нестационарная задача (1)–(5) после дискретиза-
ции по пространству сводится к решению задачи Коши для линейного
матричного дифференциального уравнения первого порядка
[ ]
{︁
˙
}︁
+ [ ]
{ }
=
{ }
(17)
с начальным условием
{ }|
t
=0
=
{
0
}
,
(18)
где
{
0
}
— проекция функции
0
(
h
)
на узлы сетки конечно-элементной
модели.
Для ее решения существуют различные подходы [2–4], однако
наибольшее распространение получили два. Первый состоит в том,
что производную по времени в уравнении (17) заменяют каким-либо
конечно-разностным аналогом, а второй заключается в использовании
конечных элементов во временной области (метод Гал¨eркина).
Разностный аналог задачи Коши
. Рассмотрим основные этапы
построения разностного аналога задачи Коши (17), (18) в виде се-
мейства двухслойных разностных схем. В пределах временного шага
ℎ
t
=
t
−
t
−
1
векторы узловых температур
{ }
и правой части
{ }
представим в виде следующих линейных комбинаций:
{
(
t
)
}
= (1
−
w
)
{ }
−
1
+
w
{ }
;
(19)
{
(
t
)
}
= (1
−
w
)
{ }
−
1
+
w
{ }
,
(20)
где
t
∈
[
t
−
1
,
t
]
⊂
[0
,
]
;
w
— весовой множитель,
w
∈
[0
,
1]
. Здесь
и далее векторы
{ }
−
1
,
{ }
−
1
и
{ }
,
{ }
отнесены к моментам
времени
t
=
t
−
1
и
t
=
t
соответственно.
5
