Эффективный коэффициент теплопроводности нанокомпозита при наличии. . .
Область , содержащую представительный элемент в виде поло-
вины составной частицы радиусом , выберем в виде прямого ци-
линдра с достаточно большой площадью
0
параллельных оснований,
одно из которых соответствует в сферических координатах значению
j
=
p
/
2
, а точки второй имеют координаты
cos
j
=
, т. е. высота
цилиндра равна , причем
≫
. Боковую поверхность цилиндра
примем идеально теплоизолированной, температуру основания при
j
=
p
/
2
положим равной нулю, а на втором основании зададим тем-
пературу . Однородный материал в части области вне составной
частицы имеет коэффициент теплопроводности
l
. Таким образом,
в неоднородной цилиндрической области объемом
0
=
0
, огра-
ниченной поверхностью , распределение температуры
( )
и ко-
эффициент теплопроводности
L
( )
являются функциями координат
точки
∈
, причем функция
L
( )
кусочно-постоянная и при-
нимает значения
l
1
при
0
6 6
0
,
l
*
при
0
6 6
*
,
l
м
при
*
6 6
и
l
при
>
.
Примем для минимизируемого функционала [9] в качестве допу-
стимого
[ ] =
1
2
∫︁
L
( )
(︀
∇
( )
)︀
2
( )
,
(10)
где
∇
— дифференциальный оператор Гамильтона, линейное по высо-
те цилиндра распределение температуры с постоянной составляющей
градиента . В этом случае из формулы (10) получим
1
[ ] =
2
2
(︂
l
0
−
2
p
3
3
l
+2
p
3
−
3
*
3
l
м
+2
p
3
*
−
3
0
3
l
*
+2
p
2
0
3
l
1
)︂
.
(11)
Для максимизируемого функционала [9]
[ ] =
−
1
2
∫︁ (︀
( )
)︀
2
L
( )
( )
−
∫︁
( ) ( )
·
( ) ( )
,
∈
,
(12)
где — единичный вектор внешней нормали к поверхности , в каче-
стве допустимого распределения вектора плотности теплового потока
примем постоянное значение
=
−
l
единственной составляющей
этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. Тогда форму-
ла (12) примет вид
1
[ ] =
−
(
l
)
2
2
(︂
0
−
2
p
3
/
3
l
+ 2
p
3
−
3
*
3
l
м
+
+ 2
p
3
*
−
3
0
3
l
*
+ 2
p
3
0
3
l
1
)︂
+
l
2
0
.
(13)
5
