Теплопроводность однонаправленного волокнистого композита
Последовательным исключением неизвестных из равенств (11)
и (12) находим
*
2
=
(
l
*
1
/
l
∘
1
−
1)(
l
∘
1
/
l
1
+ 1)
−
(1 +
l
*
1
/
l
∘
1
)(1
−
l
∘
1
/
l
1
)
(
l
*
1
/
l
∘
1
+ 1)(
l
∘
1
/
l
1
+ 1) + (1
−
l
*
1
/
l
∘
1
)(1
−
l
∘
1
/
l
1
)
.
(13)
Замена составной частицы равновеликим цилиндром с внешним ра-
диусом
м
и искомым коэффициентом теплопроводности
l
*
1
приведет
к исчезновению возмущения температурного поля в окружающем ее
однородном материале с тем же значением
l
*
1
. Тогда в равенстве (8)
следует положить
D
(
,
3
) = 0
, что равносильно условию
*
= 0
,
которое с учетом формулы (13) приводит к соотношению
̃︀
l
1
=
l
*
1
l
1
= ¯
l
1
2
−
(1
−
¯
l
1
)(1
−
)
2
−
(1
−
¯
l
1
)(1 + )
,
(14)
где
¯
l
1
=
l
∘
1
/
l
1
.
Двусторонние оценки.
Двойственная вариационная формули-
ровка задачи стационарной теплопроводности в неоднородном те-
ле [13, 14], содержащая два альтернативных функционала, достигаю-
щих на истинном решении задачи совпадающих значений минимума
и максимума, позволяет построить двусторонние оценки значений
l
*
1
и
l
*
3
. Методика построения таких оценок подробно изложена в мо-
нографии [15]. Если для минимизируемого и максимизируемого функ-
ционалов принять в качестве допустимых однородные распределения
соответственно температуры и плотности теплового потока, то для
эффективного коэффициента теплопроводности композита в направ-
лении, перпендикулярном расположению волокон, следуют оценки
l
+
1
=
l
1
+
l
∘
1
(1
−
)
>
l
*
1
>
1
/
l
1
+ (1
−
)
/
l
∘
1
=
l
−
1
,
(15)
а для эффективного коэффициента теплопроводности композита в
направлении расположения волокон — оценки
l
+
3
=
l
3
+
l
∘
3
(1
−
)
>
l
*
3
>
1
/
l
3
+ (1
−
)
/
l
∘
3
=
l
−
3
.
(16)
Отметим, что верхняя оценка
l
+
3
совпадает со значением
l
*
3
, опре-
деляемым формулой (6). Цепочки неравенств (15) и (16) переходят
в равенства при
= 0
и
= 1
, а также при
l
∘
1
=
l
1
и
l
∘
3
=
l
3
.
Убедимся, что значение
l
*
1
, определяемое формулой (14), удовлет-
воряет соотношению (15). Для этого приведем это соотношение к без-
размерному виду и подставим в него формулу (14). В результате по-
лучим
+ ¯
l
1
(1
−
)
>
¯
l
1
1 + + ¯
l
1
(1
−
)
1
−
+ ¯
l
1
(1 + )
>
¯
l
1
1
−
+ ¯
l
1
.
(17)
5
