Г.Н. Кувыркин
Расчетные зависимости.
Однонаправленный волокнистый компо-
зит примем состоящим из совокупности параллельно расположенных
волокон, достаточно длинных по сравнению с их радиусом, и матри-
цы, содержащей параллельные волокнам поры в виде длинных тон-
ких щелей. Размеры пор в поперечном направлении будем считать
настолько малыми (порядка долей миллиметра), что допустимо пре-
небречь переносом тепловой энергии в их полости [6], т. е. коэффици-
ент теплопроводности пор можно положить равным нулю.
Обозначим через объемную концентрацию волокон в компози-
те. Волокна будем считать трансверсально изотропными [7] относи-
тельно их продольной оси. Коэффициент теплопроводности волокон
поперек этой оси обозначим через
l
1
, а вдоль ее — через
l
3
. Примем,
что связующее после отверждения станет изотропным и будет иметь
коэффициент теплопроводности
l
м
, но матрица композита вследствие
наличия щелевых пор будет анизотропной. Поэтому на первом этапе
построения математической модели переноса тепловой энергии в рас-
сматриваемом композите необходимо найти главные значения тензора
эффективной теплопроводности матрицы.
Щелевую пору можно рассматривать как сильно удлиненный эл-
липсоид с нулевым коэффициентом теплопроводности. Для компо-
зита с одинаково ориентированными нетеплопроводными включени-
ями такой формы получено соотношение для главных значений
l
∘
a
(
a
= 1
,
2
,
3
) тензора эффективной теплопроводности в виде [8]
l
∘
a
=
l
м
(1
−
0
)(1
−
∘
a
)
1
−
(1
−
0
)
∘
a
.
(1)
Здесь
0
— объемная концентрация включений, в данном случае рав-
ная объемной концентрации щелевых пор в матрице композита;
∘
a
=
1 2 3
2
∞
∫︁
0
(
2
a
+ ) ( )
(2)
(
a
— полуоси эллипсоида;
( ) =
√︀
(
2
1
+ )(
2
2
+ )(
2
3
+ )
, причем
∘
1
+
∘
2
+
∘
3
= 1
).
Пусть
3
— наибольшая полуось эллипсоида в направлении рас-
положения волокон. Если в первом приближении принять попереч-
ное сечение щелевой поры круглым, т. е.
1
=
2
<
3
, то интегралы
в формуле (2) можно выразить через элементарные функции [9]
∘
1
=
∘
2
=
1
2(1
−
¯
2
)
−
¯
2
2
√︁
(1
−
¯
2
)
3
ln
(︁
1 +
√︀
1
−
¯
2
¯
)︁
,
∘
3
= 1
−
2
∘
1
,
(3)
2
