Теплопроводность однонаправленного волокнистого композита
где
¯ =
1
/
3
<
1
. Для достаточно длинных и узких щелевых пор
¯
≪
1
. Поэтому, пренебрегая величиной
¯
2
по сравнению с единицей,
вместо формул (3) можно записать [10, 11]
¯
∘
1
= ¯
∘
2
=
1
−
¯
2
ln(2
/
¯ )
2
,
¯
∘
3
= 1
−
2
∘
1
.
(4)
Согласно равенствам (1), при
∘
1
=
∘
2
матрица будет обладать
свойством трансверсальной изотропии относительно оси, параллель-
ной волокнам, а главными значениями тензора эффективной теплоп-
роводности матрицы будут
l
∘
1
=
l
∘
2
и
l
∘
3
. В пределе при
¯
→
0
из
соотношений (4) получим
¯
∘
1
= ¯
∘
2
= 1
/
2
и
¯
∘
3
= 0
. В этом случае
равенства (1) примут вид
̂︀
l
1
=
l
∘
1
l
м
=
l
∘
2
l
м
=
1
−
0
1 +
0
,
̂︀
l
3
=
l
∘
3
l
м
= 1
−
0
,
(5)
Теперь можно перейти к нахождению главных значений
l
*
1
=
l
*
2
и
l
*
3
тензора эффективной теплопроводности однонаправленного во-
локнистого композита в целом, также обладающего свойством транс-
версальной изотропии относительно оси, параллельной волокнам,
поскольку и матрица, и волокна обладают этим свойством. В слу-
чае волокон, достаточно длинных по сравнению с их радиусом
0
,
достоверной оценкой коэффициента теплопроводности композита
в направлении расположения волокон будет определяемое по правилу
смеси [12] значение
l
*
3
=
l
∘
3
(1
−
) +
l
3
.
(6)
Для оценки значения
l
*
1
построим математическую модель процес-
са переноса тепловой энергии в композите применительно к предста-
вительному элементу его структуры в виде достаточно протяженной
в направлении расположения волокон цилиндрической составной ча-
стицы. Поперечное сечение этой частицы включает соответствующий
волокну круг радиусом
0
, окруженный кольцевым слоем матрицы
с внешним радиусом
м
, причем
(
м
/
0
)
2
= 1
/
. Составная частица
в тепловом отношении взаимодействует с неограниченным массивом
однородного материала. Таким образом, модель структуры композита
содержит три фазы: волокно, слой матрицы и неограниченный массив
однородного материала. Перенос тепловой энергии будем рассматривать
лишь в плоскости поперечного сечения составной частицы. Поэтому
примем для волокна коэффициент теплопроводности
l
1
, для слоя мат-
рицы —
l
∘
1
, а для однородного материала — искомую величину
l
*
1
.
Центр поперечного сечения составной частицы поместим в начале
полярной системы координат, обозначив через и
3
радиальную и уг-
ловую координаты соответственно. Примем, что на большом расстоя-
нии
≫
м
от начала координат задан вектор градиента температур-
ного поля в однородном материале, направленный по оси, от которой
3
