О некоторых свойствах бессдвиговых изотропных конгруэнций
1
УДК 514.8
О некоторых свойствах бессдвиговых
изотропных конгруэнций
© В.Н. Тришин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Исследованы свойства бессдвиговых изотропных геодезических конгруэнций
(
БСК
)
в пространствах Эйнштейна. Условия интегрируемости для уравнений БСК в спи-
норном виде использованы для анализа свойств вектора Соммерса, характеризу-
ющего конгруэнцию. Получены явные выражения для вектора Соммерса в алгебра-
ически специальных пространствах.
Ключевые слова
:
бессдвиговые изотропные конгруэнции, алгебраически специаль-
ные метрики, уравнения Эйнштейна.
Введение.
В статье исследованы свойства
бессдвиговых изо-
тропных конгруэнций
– важного класса изотропных геодезических
конгруэнций, для которого один из трех оптических скаляров,
а именно сдвиг, обращается в ноль [1]. Такие конгруэнции играют
важную роль в различных задачах общей теории относительности
[2], при поиске точных решений уравнений Эйнштейна [3], при изу-
чении свойств электромагнитных полей на искривленных простран-
ственно-временных многообразиях [4–7].
С математической точки зрения бессдвиговые изотропные кон-
груэнции в пространстве-времени тесно связаны с понятием CR-
структуры: каждое четырехмерное лоренцево многообразие, содержа-
щее БСК, является лифтом некоторого трехмерного CR-многообразия
[8–10]. Заметим также, что неаналитические бессдвиговые конгруэн-
ции, которые связаны с CR-структурами, недопускающими вложения,
могут иметь важное значение в квантовой гравитации [11].
Существование БСК накладывает определенные ограничения на
кривизну метрики. В хорошо известной теореме Гольдберга – Сакса
[12] утверждается, что вакуумная (т. е. удовлетворяющая уравнениям
Эйнштейна с нулевым тензором энергии-импульса) метрика содер-
жит бессдвиговую изотропную геодезическую конгруэнцию тогда, и
только тогда, когда она является алгебраически специальной, причем
кратное
главное изотропное направление
(ГИН) тензора конформной
кривизны Вейля [1] совпадает с касательным вектором БСК. Отсюда,
в частности, следует, что вакуумные пространства Эйнштейна могут
содержать самое большее две такие конгруэнции. В общем случае
искривленного неконформно-плоского пространства-времени число
различных БСК, проходящих через заданную точку, не может пре-
вышать четырех (по числу ГИН), так как каждый луч БСК с необхо-
