В.Н. Тришин
4
Вектор Соммерса в пространствах Эйнштейна.
Рассмотрим
свойства бессдвиговых конгруэнций в случае вакуумных пространств
Эйнштейна, т. е. когда
'
'
0.
A B AB
По теореме Гольдберга – Сак-
са главный спинор БСК
A
определяет кратное ГИН тензора Вейля,
и пространство-время является алгебраически специальным, т. е.
типа II,
D
, III или
N
по Петрову. В этом случае существует специ-
альная калибровка [14], в которой главный спинор конгруэнции
удовлетворяет
'
0,
A
AA B
а вспомогательные спиноры –
'
'
'
'
,
0.
A
A
A
AA A A A
Выражение для ковариантной производной главного спинора
принимает вид
'
'
,
AA B BA A
что позволяет интерпретировать его как условие ковариантного по-
стоянства касательного вектора БСК относительно эффективной
связности Вейля – Картана [14].
Тогда система условий интегрируемости в калибровке
'
0
A
AA B
принимает вид
'
'
'
'
' '
(
)
(
)
(
)
' '
( '
')
( '
')
,
12
2
3
2
2
.
,
D
ABCD
AB C
B
CC
CC
A
AB
A CC
CC
A C
A C
A B
A
A B
C
A B
A B
A B B
Отметим, что из второго уравнения системы после свертки с
A
с
учетом первого уравнения получим
1
1
0
3
A B
AB
, т. е. спинор
БСК
A
должен быть кратным ГИН тензора Вейля.
Получим выражения для вектора Соммерса
'
AA
в случае алгеб-
раически специальных метрик различного типа, используя вакуум-
ные тождества Бианки
'
0.
A
A ABCD
Компоненты конформного
спинора Вейля обозначим
0
4
, ,
и главный спинор
A
выберем в
