О некоторых свойствах бессдвиговых изотропных конгруэнций
3
'
'
'
'
,
B
AA B A A
A
AA B B A
и связанные друг с другом соотношением
'
'
'
.
A
A A
AA
Транс-
формационные свойства этих спиноров существенно различны:
'
'
'
'
'
'
'
'
'
(
ln ).
A
A
A
A
A
A
A
AA
В частности, спинор
'
A
масштабными преобразованиями невоз-
можно обратить в ноль. Напротив, если спинор БСК
A
определяет
кратное
ГИН тензора Вейля, то спинор
'
A
путем изменения масшта-
ба вдоль луча конгруэнции всегда можно обратить в ноль [14, 15].
Для нахождения условий интегрируемости уравнений БСК вычис-
лим коммутатор ковариантных производных главного спинора
A
и разложим его на неприводимые представления группы Лоренца. В
результате получим систему уравнений
'
'
'
(
)
'
'
'
'
')
' '
(
(
6
3(
)
2
,
,
,
D
ABCD
AB C
A
B
A
AA
AB
AA
D
A B CD
B
A B C
C A C A
где
ABCD
– конформный спинор Вейля;
'
'
A B CD
– спинор Риччи;
/ 24;
R
R
– скалярная кривизна метрики. Спин-тензоры
' '
( '
')
C
A B C A B
и
'
'(
)
C
AB C A B
соответствуют самодуальной и
антисамодуальной частям комплексного бивектора
μν
' '
' '
.
AB A B A B AB
F
Из первого уравнения следует, что
0,
A B C D
ABCD
т. е. по-
лучим хорошо известный результат [1], что каждый касательный век-
тор БСК является ГИН тензора Вейля. Кроме того, в случае алгебра-
ически вырожденной метрики типа
N
(
0
D
ABCD
) или конформно-
плоской метрики (
0
ABCD
) бивектор +
μν
F
является самодуальным
(
0
AB
) и, следовательно, удовлетворяет вакуумным уравнениям
Максвелла в этом пространстве.
