В.Н. Тришин
2
димостью определяет ГИН тензора Вейля. В конформно-плоских
метриках существует бесконечно много БСК.
В данной работе проведено локальное изучение условий инте-
грируемости уравнений бессдвиговых конгруэнций на четырехмер-
ном многообразии с метрикой
g
лоренцевой сигнатуры, использо-
ван спинорный формализм абстрактных индексов Пенроуза [1].
Условия интегрируемости уравнений БСК.
Обозначим через
μ
l
векторное поле, касательное к лучам конгруэнции, а через
A
–
главный спинор БСК. В формализме абстрактных индексов
'
.
A A
l
Условие нулевого сдвига [1] приводит к уравнениям
AA' B
ξ 0,
A B
где
'
AA
– оператор спинорной ковариантной производной относи-
тельно связности Леви – Чивита, а индексы поднимаются
A AB
B
и опускаются
A
B
AB
с помощью антисимметричного спин-
тензора
AB
BA
такого, что
' '
AB A B
g
. Уравнения БСК инва-
риантны при конформных преобразованиях метрики и при масштаб-
ных преобразованиях
'
A A
A
, где
( )
x
– произвольная ком-
плексная функция, соответствующая репараметризации луча кон-
груэнции.
Используя свойства спинорной алгебры, уравнения БСК можно
записать в следующем виде (круглые скобки у индексов обозначают
симметризацию):
(
)
(
)
,
A A B A A B
где
'
AA
– комплексное векторное поле (вектор Соммерса [13]), изме-
няющееся при масштабных преобразованиях градиентным образом
'
'
'
'
ln .
AA
AA AA AA
Ковариантную производную спинора БСК можно записать одним
из двух способов
'
'
'
,
AA B A A B AB A
или
'
'
'
,
AA B A B A BA A
где введены вспомогательные спиноры, определяемые уравнениями
